Центр на миуссах: Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования города Москвы «Дворец творчества детей и молодёжи на Миусах»

Познакомьтесь с ЦТ «На Вадковском»!

Центр творчества «На Вадковском» — это единственный в Москве Центр творчества в системе социальной поддержки населения города Москвы, выполняющий функции обучения, воспитания, развития и социализации детей и подростков. В Центре работают больше 100 творческих объединений и клубов по интересам.

Здесь занимаются 5000 ребят под руководством 130 педагогов высокой квалификации.

В ближайшее время в центре будут проходить интересные мероприятия, на которые может прийти любой желающий:

— Отчетный концерт хореографической студии «Синяя птица», который будет проходить в ДТДиМ «На Миуссах» 13.04 в 16.00
— Концерт участников фестиваля детско-юношеской авторской песни «Многоголосье», посвященный 85-летию Ю. Визбора пройдет 13.04 в 16:00
— 19.04 в 18:30 «На Вадковском»  пройдет заключительный концерт творческих коллективов Центра, на котором вы можете познакомиться с деятельностью Центра поближе!

Прошедшие весенние каникулы были очень плодотворными для центра «На Вадковском»:

прошли такие мероприятия как шахматный турнир, в котором приняли участие около 200 детей со всей Москвы, а также Ежегодный Московский городской Фестиваль «Театральные каникулы»

дети из «На Вадковском» стали лауреатами всероссийских и международных конкурсов и фестивалей:

Музыкальный театр «Квинта+» стал лауреатом Международного Открытого Театрального фестиваля «Один день с театром»

Танцевальный коллектив «Палитра» стал лауреатом международного фестиваля «Танцующая Каталония» в Испании и привез более 30 дипломов в разных номинациях!

Джазовый ансамбль стал лауреатом на IX Открытом конкурсе-фестивале детского и юношеского творчества им. Джоржа Гершвина, в жюри которого были Народные артисты Лариса Долина и Игорь Бутман

Ведущий коллектив г.Москвы, Хореографическая студия «Синяя Птица» получил Гран-при Международного конкурса-фестиваля «Московское время».
Помимо Гран-при солисты студии стали Лауреатами I степени, а малыши, которые впервые на сцене – Лауреаты II степени!

Центр «На Вадковском» стал лауреатом Всероссийского конкурса «500 лучших образовательных организаций страны – 2019» в номинации «Лучшая организация дополнительного образования детей и взрослых-2019» 

Посетите сайт Центра «На Вадковском» http://navadkovscom.ru или группу ВКонтакте https://vk.com/navadkovskom. Там очень много интересной информации!

Твитнуть

Поделиться

Поделиться

Отправить

Отправить

Поделиться

Казарновский Сергей Зиновьевич | Лекторы

Заслуженный учитель России, директор центра образования №686 «Класс-Центрз, победитель первого конкурса «Лидер образования России».

Сергей Казарновский родился в 1954 году, в 1976-м окончил Московский инженерно-строительный институт, поступил в аспирантуру, пошел работать на завод – и начал ставить спектакли. В 1981 году он пришел работать в школу № 69 и вместе со своим другом, учителем английского языка Сергеем Лойко, организовал там театральную студию. Для чего, спрашивается, поступал в МИСИ? Это станет ясно позже, когда он начнет строить свою школу и сам будет руководить укладкой фундамента и возведением стен.

В 1985 году Казарновский поступил на режиссерское отделение Театрального училища им. Щукина, а в 1989 году получил диплом режиссера драмы. Во время учебы в институте он поставил со школьниками спектакль «Ящерица» по пьесе А. Володина. Художником был Михаил Аникст – отец одного из учеников, сын известнейшего переводчика, художник Театра на Таганке. Успех у спектакля был неописуемый.

Тогда же был поставлен музыкальный спектакль «Эники-беники» по сказке «Волк и семеро козлят». Кто видел, говорят, что это необычайная смесь озорства, дразнилок и поэзии. Собственно, в это же время к студии Казарновского пришел и настоящий успех: с 1981 года его спектакли много раз оказывались победителями театральных конкурсов. Студия Казарновского уверенно побеждала на многих отечественных фестивалях – список международных фестивалей тоже впечатляет: США, Люксембург, Франция, Голландия, Ирландия, Венгрия, Мальта, Испания, Финляндия и т.д.

В 1990 году Сергей Зиновьевич ушел из школы № 69 во Дворец пионеров «На Миуссах» – и дети из школьного театра и педагоги последовали за ним. Через год он организовал Первый международный фестиваль «Театр, где играют дети». Фестиваль открылся кавалькадой ряженых, дрессированных медведей, повозок, запряженных животными, которая шла по улице Горького (Тверская). Такого в Москве еще не видели.

В 1990 году Казарновский вышел в открытое море. По договору Дома пионеров «На Миуссах» и школы № 69 он набрал первый класс. Дети учились в помещении дома «На Миуссах». Но только привычные школьные уроки чередовались с непривычными: там были уроки музыки, актерского мастерства, живописи, словотворчества и «истории про театр». Через год у этой затеи появилось название «Альтернативная школа», а еще через год — «Школа-комплекс 686 «Класс-центр», и началось строительство здания на Большой Академической улице.

Стройка продолжалась шесть лет, и там вкалывали оба Казарновских: выпускник Щуки и инженерно-строительного института. Наконец, все сошлось. Так появилась построенная по индивидуальному проекту авторская школа Сергея Казарновского с двумя театральными залами, художественной мастерской и галереей, музыкальными классами, кафе для учителей и гостевым холлом для родителей.

Вот уже много лет школа Сергея Казарновского растит счастливых детей – учит их чувствовать и понимать красоту, созидать ее вокруг себя.

Наши выпускники ориентированы на самый широкий спектр высшего образования, где наиболее полно могут быть востребованы навыки, полученные в «Класс-Центре» (в первую очередь – навыки публичной коммуникации). Ученики «Класс-Центра» становятся студентами МГИМО, МГУ, РГГУ, Финансовой академии, Медицинских вузов, а также различных театральных и музыкальных учебных заведений Москвы.

Центр масс | Безграничная физика

Определение центра масс

Положение COM — это средневзвешенное значение положений частиц. Математически это дается как [латекс] \ bf {\ text {r}} _ {\ text {COM}} = \ frac {\ sum_ \ text {i} \ text {m} _ \ text {i} \ bf {\ text {r}} _ \ text {i}} {\ text {M}} [/ latex].

Цели обучения

Определить центр масс для объекта с непрерывным распределением массы

Основные выводы

Ключевые моменты

• Центр масс (COM) — это утверждение пространственного расположения масс (т.е.е. распределение массы внутри системы).
• Экспериментальное определение центра масс тела использует силы тяжести, действующие на тело, и полагается на тот факт, что в параллельном гравитационном поле у ​​поверхности земли центр масс совпадает с центром тяжести.
• Для двухмерного объекта экспериментальный метод определения центра масс состоит в том, чтобы подвесить объект в двух местах и ​​опустить отвес из точек подвеса. Пересечение двух линий — центр масс.

Ключевые термины

• отвес : шнур с грузом, используемый для построения вертикальной линии.

В предыдущем разделе «Центр масс и поступательное движение» мы узнали, почему концепция центра масс (ЦМ) помогает решать механические задачи, связанные с твердым телом. Здесь мы изучим строгое определение COM и то, как определить его местонахождение.

Определение

Центр масс — это положение о пространственном расположении массы (т.е. распределение массы внутри системы). Положение COM дано математической формулировкой, которая включает распределение массы в пространстве:

[латекс] \ textbf {\ text {r}} _ {\ text {COM}} = \ frac {\ sum_ \ text {i} \ text {m} _ \ text {i} \ textbf {\ text {r }} _ \ text {i}} {\ text {M}} [/ latex],

, где r _COM и r _i — векторы, представляющие положение COM и i-й частицы соответственно, а M и mi — общая масса и масса i-й частицы, соответственно. Это означает, что положение COM является средневзвешенным значением положения частиц.

Объект с непрерывным распределением массы

Если распределение массы непрерывно с плотностью ρ (r) в объеме V, положение COM задается как

[латекс] \ textbf {r} _ {\ text {COM}} = \ frac {1} {\ text {M}} \ int_ \ text {V} \ rho (\ mathbf {\ text {r}}) \ mathbf {\ text {r}} \ text {dV} [/ latex],

где M — общая масса в объеме. Если непрерывное распределение массы имеет однородную плотность, что означает постоянство ρ, то центр масс совпадает с центром объема.

Определение центра масс

Экспериментальное определение центра масс тела использует силы тяжести, действующие на тело, и полагается на тот факт, что в параллельном гравитационном поле у ​​поверхности Земли центр масс совпадает с центром тяжести.

Центр масс тела с осью симметрии и постоянной плотностью должен находиться на этой оси. Таким образом, центр масс кругового цилиндра постоянной плотности имеет центр масс на оси цилиндра.Точно так же центр масс сферически-симметричного тела постоянной плотности находится в центре сферы. В общем, для любой симметрии тела его центр масс будет фиксированной точкой этой симметрии.

В двух измерениях. Экспериментальный метод определения центра масс состоит в том, чтобы подвесить объект с двух точек и опустить отвес из точек подвеса. Пересечение двух линий — центр масс.

Метод отвеса для центра масс : подвесьте объект в двух местах и ​​сбросьте отвес с точек подвеса.Пересечение двух линий — центр масс.

В трех измерениях: поддерживая объект в трех точках и измеряя силы, противодействующие весу объекта, можно определить COM трехмерных координат центра масс.

Движение центра масс

Мы можем описать поступательное движение твердого тела, как если бы это была точечная частица с полной массой, расположенной в COM — центре масс.

Цели обучения

Вывести центр масс для поступательного движения твердого тела

Основные выводы

Ключевые моменты

• Общая масса, умноженная на ускорение центра масс, равна сумме внешних сил.
• Для поступательного движения твердого тела с массой M применяется 2-й закон Ньютона, как если бы мы описывали движение точечной частицы (с массой M) под действием внешней силы.
• Когда нет внешней силы, импульс центра масс сохраняется.

Ключевые термины

• твердое тело : идеализированное твердое тело, размер и форма которого фиксированы и остаются неизменными при приложении сил; используется в механике Ньютона для моделирования реальных объектов.
• центр масс : центр масс (COM) — это уникальная точка в центре распределения масс в пространстве, которая имеет свойство, что взвешенные векторы положения относительно этой точки суммируются до нуля.

Мы можем описать поступательное движение твердого тела, как если бы это была точечная частица с полной массой, расположенной в центре масс (COM). В этом Atom. мы докажем, что общая масса (M), умноженная на ускорение COM ( _COM ), действительно равна сумме внешних сил.То есть

[латекс] \ text {M} \ cdot \ textbf {a} _ {\ text {COM}} = \ sum \ textbf {F} _ {\ text {ext}} [/ latex].

Вы можете видеть, что 2-й закон Ньютона действует так, как если бы мы описывали движение точечной частицы (с массой M) под действием внешней силы.

Вывод

Из определения центра масс,

[латекс] \ textbf {r} _ {\ text {COM}} = \ frac {\ sum_ \ text {i} \ text {m} _ \ text {i} \ textbf {r} _ \ text {i} } {\ text {M}} [/ latex],

получаем [латекс] \ text {M} \ cdot \ textbf {a} _ {\ text {COM}} = \ sum \ text {m} _ \ text {i} \ textbf {a} _ \ text {i } [/ latex], взяв производную по времени дважды с каждой стороны.

Обратите внимание, что [latex] \ sum \ text {m} _ \ text {i} \ textbf {a} _ \ text {i} = \ sum \ textbf {F} _ \ text {i} [/ latex].

В системе частиц каждая частица может ощущать как внешние, так и внутренние силы. Здесь внешние силы — это силы от внешних источников, а внутренние силы — это силы между частицами в системе. Так как сумма всех внутренних сил будет равна 0 из-за 3-го закона Ньютона,

[латекс] \ sum \ textbf {F} _ \ text {i} = \ sum \ textbf {F} _ {\ text {i}, \ text {ext}} [/ latex].Следовательно, получаем [латекс] \ text {M} \ cdot \ textbf {a} _ {\ text {COM}} = \ sum \ textbf {F} _ {\ text {ext}} [/ latex].

Например, когда мы ограничиваем нашу систему Землей и Луной, гравитационная сила, создаваемая Солнцем, будет внешней, в то время как гравитационная сила на Земле, вызванная Луной (и наоборот), будет внутренней. Поскольку гравитационные силы между Землей и Луной равны по величине и противоположны по направлению, они будут компенсировать друг друга в сумме (см.).

COM Земли и Луны : Земля и Луна вращаются вокруг COM внутри Земли. Красный крест представляет собой COM системы двух тел. COM будет вращаться вокруг Солнца, как если бы это точечная частица.

Следствие

Когда нет внешней силы, импульс COM сохраняется.

Доказательство: Поскольку нет внешней силы, [латекс] \ text {M} \ cdot \ bf {\ text {a}} _ {\ text {COM}} = 0 [/ latex]. Следовательно,

[латекс] \ text {M} \ cdot \ bf {\ text {v}} _ {\ text {COM}} = \ text {constant} [/ latex].

Центр масс человеческого тела

Центр масс (COM) — важная физическая концепция — это точка, вокруг которой вращаются объекты.

Цели обучения

Оценить COM данного объекта

Основные выводы

Ключевые моменты

• Хотя человеческое тело имеет сложные особенности, расположение центра масс (ЦМ) может быть хорошим индикатором пропорций тела.
• Мы можем измерить местоположение COM с помощью двух весов и деревянной балки.Линейные и вращательные уравнения движения дают нам местоположение.
• Центр масс человеческого тела зависит от пола и положения конечностей. В положении стоя оно обычно примерно на 10 см ниже пупка, около верхней части тазобедренных костей.

Ключевые термины

• центр масс : Центр масс (COM) — это уникальная точка в центре распределения массы в пространстве, которая имеет свойство, что взвешенные векторы положения относительно этой точки суммируются до нуля.
• крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт)

Центр масс (ЦМ) — важная физическая концепция. Это точка на объекте, в которой взвешенное относительное положение распределенной массы суммируется до нуля — точка, вокруг которой вращаются объекты.

Человеческие пропорции играют важную роль в искусстве, измерениях и медицине (хорошо известный рисунок человеческого тела показан на).Хотя человеческое тело имеет сложные особенности, расположение центра масс (ЦМ) может быть хорошим индикатором пропорций тела. Центр масс человеческого тела зависит от пола и положения конечностей. В положении стоя оно обычно примерно на 10 см ниже пупка, около верхней части тазобедренных костей. В этом Atom мы узнаем, как измерить COM человеческого тела.

«Витрувианский человек» Леонардо да Винчи : Витрувианский человек: рисунок, созданный Леонардо да Винчи.Рисунок основан на соотношениях идеальных человеческих пропорций с геометрией, описанных [4] древнеримским архитектором Витрувием в Книге III его трактата De Architectura.

Во-первых, возьмем две весы и деревянную балку (длиной H метр), достаточно длинной, чтобы вместить все тело объекта. Разместите весы на расстоянии H метров друг от друга и поместите луч поперек весов, как показано на рисунке. Теперь позвольте объекту лечь на луч. Убедитесь, что его пятки совпадают с одним концом балки.Измерьте показания (F ₁ , F ₂ ) на шкале.

COM человеческого тела : На этом рисунке показано измерение COM человеческого тела.

Система (человек + луч) имеет три внешних силы: гравитацию на объект (F _CM ) и нормальные силы от весов F ₁ и F ₂ . Уравнение движения для силы (F = ma) даст нам:

[латекс] \ text {F} _1 + \ text {F} _2 = \ text {Mg} [/ latex],

где M — масса предмета.(Мы предполагаем, что деревянная балка не имеет массы.) Это уравнение не дает всей информации для определения местоположения COM. Однако уравнение движения для крутящего момента [латекс] (\ tau = \ text {I} \ alpha) [/ latex] помогает.

Поскольку чистый крутящий момент системы равен нулю (следовательно, нет ускорения вращения),

[латекс] \ text {h} \ text {F} _2 — (\ text {H} — \ text {h}) \ text {F} _1 = 0 [/ latex]. (h: высота COM)

В качестве источника крутящего момента выбран COM. Следовательно, сила тяжести не влияет на крутящий момент.Решая относительно h и используя уравнение движения для силы, получаем

[латекс] \ text {h} = \ frac {\ text {HF} _1} {\ text {Mg}} [/ latex].

Центр масс и поступательного движения

ЦОМ (центр масс) системы частиц — это геометрическая точка, которая принимает на себя всю массу и внешнюю силу (силы) во время движения.

Цели обучения

Поддержка присутствия COM в трехмерных телах в движении

Основные выводы

Ключевые моменты

• При движении твердого тела разные части тела совершают разные движения.Это означает, что эти тела не могут вести себя как точечная частица.
• Это характерная геометрическая точка движущегося трехмерного тела. Эта точка ведет себя как частица и известна как центр масс, сокращенно COM. COM, кажется, несет на себе всю массу тела. Кажется, что все внешние силы действуют на COM.
• Чтобы описать движение твердого тела (возможно, со сложной геометрией), мы отделяем поступательную часть движения от вращательной.

Ключевые термины

• твердое тело : идеализированное твердое тело, размер и форма которого фиксированы и остаются неизменными при приложении сил; используется в механике Ньютона для моделирования реальных объектов.
• точечная частица : Идеализация частиц, широко используемых в физике. Его определяющая особенность — отсутствие пространственного расширения, а это означает, что геометрически частица эквивалентна точке.

Введение: COM, линейный момент и коллизии

До сих пор наше исследование движения было ограничено.Таким же образом мы упоминали частицу, объект и тело. Мы считали, что реальные трехмерные твердые тела движутся так, что все составляющие частицы имеют одинаковое движение (то есть одинаковую траекторию, скорость и ускорение). Сделав это, мы, по сути, рассмотрели твердое тело как точечную частицу.

Центр масс (COM)

Однако реальное тело может двигаться иначе, чем эта упрощенная парадигма. Представьте, что мяч катится по наклонной плоскости, или клюшка, подброшенная в воздух.У разных частей тела разные движения. При перемещении в воздухе палка вращается вокруг движущейся оси, как показано на рисунке. Это означает, что такие тела могут не вести себя как точечная частица, как предполагалось ранее.

Силы на COM : Слева: Похоже, что сила, действующая на COM, равна «mgsinθ». Справа: сила, действующая на COM, составляет «мг».

Было бы довольно сложно описать движения частей или частиц, которые имеют разные движения, комплексно.Однако у таких движущихся трехмерных тел есть одна удивительная, упрощающая характеристика — геометрическая точка, которая ведет себя как частица. Эта точка известна как центр масс, сокращенно СОМ (математическое определение СОМ будет введено в следующем Атоме «Определение центра масс»). Он имеет следующие два характерных аспекта:

• Кажется, что центр масс несет на себе всю массу тела.
• Кажется, что в центре масс действуют все внешние силы.

Примечательно, что центр шара (COM катящегося шара) следует прямолинейной траектории; тогда как COM палки следует параболическому пути (как показано на рисунке выше). Во-вторых, силы, по-видимому, действуют на COM в двух случаях («mgsinθ» и «mg»), как если бы они действительно были подобными частицам объектами. Эта концепция COM, таким образом, устраняет сложности, которые в противном случае присутствовали бы при попытке описать движения твердых тел.

Описание движения твердого тела

Общее движение объекта (с массой m) можно описать следующим образом:

• Мы описываем поступательное движение твердого тела, как если бы это была точечная частица с массой m, расположенная в COM.
• Вращение частицы на относительно COM описывается независимо.

«Отделяем» поступательную часть движения от вращательной. При введении концепции COM поступательное движение становится движением точечной частицы с массой m. Это значительно упрощает математическую сложность задачи.

4.2: Центр масс — Physics LibreTexts

Системы с множеством частиц

Когда мы изучали теорему работы-энергии, мы обнаружили, что основным преимуществом этого подхода был хороший «ярлык», доступный нам, когда мы выбирали систему, достаточно большую, чтобы энергия внутри системы сохранялась.То же самое и с теоремой об импульсе-импульсе. Поэтому мы в значительной степени отложим случаи, когда на систему действует внешний импульс, и сосредоточимся только на системах, сохраняющих импульс.

Во многих случаях, с которыми мы имели дело до сих пор, наша «система» представляла собой только один объект или, возможно, два объекта, причем один из них (т.е. Земля) настолько велик, что мы можем игнорировать его, потому что он в основном просто сидит там. поскольку он обеспечивает потенциальную энергию, которая влияет на движение другого объекта. Но теперь мы охватим несколько активных объектов , что означает, что их массы не будут настолько разными, чтобы движение одного объекта можно было игнорировать.Теперь нам нужно будет учитывать движения всех объектов в определенной системе. Обратите внимание, что мы не делаем никаких заявлений об относительном взаимодействии этих объектов — они могут быть надежно прикреплены друг к другу в жестком объятии (твердый объект), или они могут быть полностью свободны двигаться независимо друг от друга (объем газа).

Рассмотрим теорему об импульсе-импульсе для системы, состоящей из нескольких объектов. Импульсная часть этой теоремы состоит из двух частей: масса, которая, как мы предполагаем, является суммой масс всех объектов в системе; и скорость центра масс системы.У нас есть довольно интуитивное понятие центра масс для отдельного объекта, но как мы можем говорить о центре масс системы с множеством отдельных движущихся объектов? Мы отвлечемся от нашего обсуждения сохранения импульса, чтобы заняться этим.

Центр масс (собрания частиц)

В некотором смысле, центр масс отдельного объекта можно рассматривать как его «среднее положение». Давайте рассмотрим простейший случай «объекта», состоящего из двух крошечных частиц, разделенных вдоль оси \ (x \), как на рисунке 4.2.1.

Рисунок 4.2.1 — Центр масс для двух точечных частиц

Если две частицы имеют равную массу, тогда довольно ясно, что «среднее положение» двухчастичной системы находится посередине между ними.

Предупреждение

Центр масс — это математическая конструкция, а не фактическое положение, которое находится на физическом объекте. Центр масс системы часто оказывается в позиции, состоящей из пустого пространства, будь то из-за того, что система состоит из нескольких объектов, или из-за того, что единственный объект в системе изогнут или имеет отверстие.

Если массы двух частиц различны, будет ли «среднее положение» по-прежнему находиться посередине между ними? Возможно, в некотором смысле это правда, но мы ищем не геометрический центр , мы ищем среднее размещение массы.Если \ (m_1 \) имеет вдвое большую массу, чем \ (m_2 \), то, когда дело доходит до среднего размещения массы, \ (m_1 \) получает «два голоса». Поскольку в позиции \ (x_1 \) сосредоточено больше массы, чем в \ (x_2 \), центр масс должен быть ближе к \ (x_1 \), чем к \ (x_2 \). Мы достигаем идеального баланса, «взвешивая» (не каламбур) позиции по той доле от общей массы, которая в них находится. Соответственно, определяем как центр масс:

\ [x_ {cm} = \ left (\ dfrac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) x_1 + \ left (\ dfrac {m_2} {m_1 + m_2} \ right) x_2 = \ dfrac {m_1 x_1 + m_2] x_2} {M_ {system}} \]

Если частиц больше двух, мы просто складываем их все в сумму в числителе.Чтобы расширить это определение центра масс до трех измерений, нам просто нужно проделать то же самое в направлениях \ (y \) и \ (z \). Тогда вектор положения центра масс системы многих частиц будет:

\ [\ begin {array} {l} \ overrightarrow r_ {cm} & = x_ {cm} \; \ widehat i + y_ {cm} \; \ widehat j + z_ {cm} \; \ widehat k \\ & = \ dfrac {\ left [m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ dots \ right] \ widehat i + \ left [m_1 y_1 + m_2 y_2 + \ dots \ right] \ widehat j + \ left [m_1 z_1 + m_2 z_2 + \ dots \ right] \ widehat k} {M} \\ & = \ dfrac {m_1 \ left [x_1 \ widehat i + y_1 \ widehat j + z_1 \ widehat k \ right] + m_2 \ left [x_2 \ widehat i + y_2 \ widehat j + z_2 \ widehat k \ right] + \ dots} {M} \\ & = \ dfrac {m_1 \ overrightarrow r_1 + m_2 \ overrightarrow r_2 + \ dots} {M} \ end {array} \]

Центр масс (собрания предметов)

Предположим, теперь мы хотим знать центр масс нескольких протяженных объектов, где все тяжелые работы уже были выполнены — центры масс объектов уже известны (см. Ниже, как выполнять эти тяжелые работы).Как определить центр масс такой системы? Это оказывается довольно просто, если вы знаете расположение центров масс двух объектов — просто относитесь к ним так, как если бы они были точечными частицами, вся масса которых сосредоточена в их собственных центрах масс, а затем выполняйте расчет выше .

Рисунок 4.2.2 — Центр масс для двух расширенных объектов 9 0027

Для доказательства этого давайте рассмотрим два протяженных объекта (A и B) как совокупность множества точечных частиц (атомов, если хотите) и запишем их центры масс (отсчитываемые от общего начала) через массы. и положения их атомов.

\ [\ left. \ begin {array} {l} \ overrightarrow r_ {cm \; A} = \ dfrac {m_ {1A} \ overrightarrow r_ {1A} + m_ {2A} \ overrightarrow r_ {2A} + \ dots} {M_A} \ \ \ overrightarrow r_ {cm \; B} = \ dfrac {m_ {1B} \ overrightarrow r_ {1B} + m_ {2B} \ overrightarrow r_ {2B} + \ dots} {M_B} \ end {array} \ right \ } \; \; \; \ iff \; \; \; \ overrightarrow r_ {cm} = \ dfrac {M_A \ overrightarrow r_ {cm \; A} + M_B \ overrightarrow r_ {cm \; B}} {M_A + M_B} \]

Левая часть уравнения — это уравнения центра масс для каждого объекта в терминах масс и положений его атомов.Правая часть дает центр масс системы двух объектов с точки зрения масс объектов и положений их отдельных центров масс. Когда выражения для \ (\ overrightarrow r_ {cm \; A} \) и \ (\ overrightarrow r_ {cm \; B} \) из левой части вставляются в уравнение правой части, тогда все атомы оба объекта объединены в единую формулу центра масс, как если бы они были частью единой системы с общей массой \ (M_A + M_B \), что доказывает приведенное выше утверждение.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Два тонких круглых диска из одного и того же материала лежат на горизонтальной поверхности так, чтобы их внешние края соприкасались друг с другом. Один диск имеет больший радиус (\ (R \)), чем другой (\ (r \)), и одинаковую толщину. Найдите, как далеко центр масс двухдисковой системы находится от центра большего диска.

Решение

Диски изготовлены из одинакового однородного материала, поэтому они имеют одинаковую массовую плотность.2} \; m \ nonumber \]

Давайте выберем центр большего диска в качестве начала координат, а центр другого диска будет лежать на оси \ (+ x \). Диски однородны, поэтому их отдельные центры масс лежат в их геометрических центрах, и мы можем вычислить центр масс системы, рассматривая диски как точечные массы, расположенные в этих центрах. Расстояние центра масс от начала координат — это то, что мы ищем, поэтому:

\ [x_ {cm} = \ dfrac {M x_1 + m x_2} {M + m} = \ dfrac {M \ left (0 \ right) + m \ left (R + r \ right)} {M + m} = \ dfrac {m \ left (R + r \ right)} {\ dfrac {R ^ 2} {r ^ 2} m + m} = \ в коробке {\ dfrac {\ left (R + r \ right) г ^ 2} {R ^ 2 + r ^ 2}} \ nonumber \]

Мы можем перепроверить этот ответ, рассмотрев очевидный частный случай: \ (R = r \).Если диски идентичны, то центр масс должен находиться на полпути между их центрами, то есть в точке, где они соприкасаются, на расстоянии \ (R \) от центра большего диска. Вставка \ (R \) вместо \ (r \) действительно дает этот ответ.

Центр масс (сплошных объектов)

Теперь перейдем к проблеме вычисления положения центра масс объекта, распределение масс которого известно. Далее следует чистая математика, но это важная математика, которая снова и снова возвращается в физику.

Предупреждение

Важная вещь, которую можно извлечь из этого обсуждения, — это понять, как работает процесс настройки. Он завершается интегралом, но выполнение интеграла — это просто занятие по сравнению с задачей его настройки. Легко быть ошеломленным мыслью о строящемся интеграле, но если вы понимаете каждый шаг, ведущий к нему (и не пытайтесь просто перейти к ответу, который выглядит как то, что вы видели раньше), это пойдет нормально.

Мы будем упрощать это, ограничиваясь объектами, для которых положение центра масс в двух из трех измерений очевидно, что означает, что нам не нужно беспокоиться обо всем векторе, описанном в уравнении 4.2.2 — подойдет только компонент \ (x \). Хорошая модель для этого — простой тонкий цилиндрический стержень. Распределение масс этого стержня полностью цилиндрически симметрично, что означает, что центр масс лежит на оси, проходящей через его центр. Но распределение массы как функция положения на этой оси может быть неоднородным. Например, на одном конце он может быть более плотным, чем на другом. Другими словами, частицы, расположенные внутри стержня, могут быть уплотнены вместе более плотно в одной области стержня, чем в другой, а это означает, что центр масс не обязательно будет находиться в точке на полпути между концами.

Перед тем, как продолжить, нам нужно сказать несколько слов о плотности массы . Плотность — это мера того, насколько плотно упаковано в пространстве какое-то количество чего-либо. В этом количестве может быть много разных вещей. Здесь мы будем рассматривать массу, но на более поздних уроках физики вы будете иметь дело с плотностью электрического заряда (и даже, как ни странно, с вероятностью!). Равномерная плотность для области в пространстве означает, что количество (каким бы оно ни было) равномерно распределено повсюду в этой области.Мы определяем среднюю плотность области в пространстве, складывая, сколько там «материала», а затем делим на общее пространство, которое она занимает. Это дает среднюю плотность, но, конечно, плотности могут варьироваться от одной точки пространства к другой, и в этом случае определяется функция плотности . Здесь мы будем иметь дело только с простейшими переменными плотностями. Поскольку в наших примерах мы будем рассматривать в основном тонкие стержни, мы будем рассматривать только плотности, которые могут варьироваться по длине стержня — это упрощает процесс до одного измерения.

Функция плотности массы в этом случае является функцией одной переменной, имеет единицы измерения \ (кг / м \) и называется линейной плотностью массы . Эта функция плотности массы обычно обозначается как \ (\ lambda \ left (x \ right) \). Если он однородный, то функция является константой \ (\ lambda \), а количество массы \ (m \) в пределах заданной длины \ (l \) просто определяется как:

\ [m = \ lambda l \]

Если плотность неоднородна, то она постоянна только на бесконечно малой длине \ (dx \), поэтому уравнение 4.2.4 может применяться только к крошечному куску массы \ (dm \), и соотношение отличается в каждой позиции \ (x \), потому что плотность разная в каждой позиции:

\ [dm = \ lambda \ left (x \ right) dx \]

Теперь, когда мы можем записать, сколько массы находится в каждой позиции, мы готовы выполнить наш расчет. Начнем с рисования диаграммы со стержнем в системе координат вдоль оси \ (x \) так, что один конец находится в начале координат, а другой — в точке \ (x = L \). На рис. 4.2.3 представлена ​​полностью размеченная диаграмма, которая очень полезна для решения таких проблем.

Движение центра масс

Центр масс (COM) — это единственная точка на конструкции, которая характеризует движение объекта, если объект сжимается до точечной массы. Если к СОМ приложена чистая сила, результирующее движение будет поступательным (объект не будет вращаться).Если чистая сила приложена к какому-либо другому месту на объекте, объект будет как перемещаться, так и вращаться вокруг своего СОМ. Анимация ниже иллюстрирует эту концепцию.

Удар в COM => 1-D линейное движение

Удар в COM => 2-D движение снаряда

Понимание центра масс и центра тяжести — видео и стенограмма урока

Примеры

Давайте рассмотрим пару примеров, когда центр масс и центр тяжести не совпадают.Начнем с очень абстрактного примера.

Однажды вы покупаете действительно большой алюминиевый стержень. Потому что тебе нечего делать со своими деньгами. Этот бар ОГРОМНЫЙ. Он такой же высокий, как и вы, такой же глубокий и 100 миль в ширину. Я сказал вам, что это было огромно!

Вы устанавливаете этот стержень на подставку так, чтобы самая длинная сторона кубоида находилась под углом 90 градусов к радиусу Земли. В этой ситуации центр масс и центр тяжести кубоида не совпадают. Вот почему.

Нам нравится думать о напряженности гравитационного поля Земли как о хорошей постоянной 9,8 м / с / с. Но на самом деле это не так. Это среднее значение на поверхности Земли. Но по мере того, как вы удаляетесь от Земли, гравитация постепенно ослабевает. Сначала не много, совсем немного. Но это действительно меняется. Например, на горе Эверест ускорение свободного падения больше похоже на 9,75 м / с / с.

Итак, в любом случае, если у вас есть огромный металлический стержень, центр стержня будет ближе к центру Земли, чем внешняя часть стержня.Помните, что Земля круглая (точнее, сплюснутый сфероид). Таким образом, два края будут дальше от центра Земли и испытывать более слабую гравитацию. Центр масс стержня по-прежнему находится прямо в центре, но из-за этого изменения силы гравитационного поля центр тяжести, место, где, по-видимому, действует гравитация, оказывается немного выше — немного дальше от центра. земли.

Более практичным примером этого может быть Международная космическая станция.Когда вы начинаете выходить в космос, эти различия в напряженности гравитационного поля становятся намного более заметными. Для НАСА или ЕКА (или любого другого вашего любимого космического агентства) разница между центром тяжести и центром масс слишком важна. Если не принять это во внимание, ваш космический корабль может рухнуть на Землю.

Краткое содержание урока

Центр масс и центр тяжести — два термина, которые часто используются как синонимы, но на самом деле это не одно и то же.Центр масс — это среднее положение массы в объекте. Затем есть центр тяжести , это точка, в которой, кажется, действует гравитация. Для многих объектов эти две точки находятся в одном и том же месте. Но они одинаковы только тогда, когда гравитационное поле однородно по всему объекту. Для более крупных объектов или объектов на орбите это не всегда так.

Если у вас есть огромный металлический стержень, расположенный под углом 90 градусов к радиусу Земли, центр стержня будет ближе к центру Земли, чем за пределами стержня.Из-за изменения силы гравитационного поля это приводит к тому, что центр тяжести, место, где, по-видимому, действует гравитация, оказывается немного выше — немного дальше от центра Земли — чем центр масс.

Разница между центром масс и центром тяжести становится действительно важной, когда вы помещаете предметы и людей в космос. Если вы не примете это во внимание, ваш космический корабль вообще не будет делать то, что вы ожидаете.

Результат обучения

После того, как вы закончите этот урок, вы сможете объяснить разницу между центром тяжести объекта и его центром масс.

Детский центр массовых фактов

В физике центр масс распределения массы в пространстве — это единственная точка, где взвешенное относительное положение распределенной массы суммируется до нуля, или точка, в которой при приложении силы он перемещается в направлении сила без вращения. Распределение массы сбалансировано вокруг центра масс, и среднее из взвешенных координат положения распределенной массы определяет его координаты.Расчеты в механике часто упрощаются, когда они формулируются относительно центра масс. Это гипотетическая точка, в которой можно предположить, что вся масса объекта сосредоточена для визуализации его движения. Другими словами, центр масс — это частичный эквивалент данного объекта для применения законов движения Ньютона.

В случае одиночного твердого тела центр масс фиксируется по отношению к телу, а если тело имеет однородную плотность, он будет расположен в центре тяжести.Центр масс может располагаться вне физического тела, как это иногда бывает с полыми или открытыми объектами, такими как подкова. В случае распределения отдельных тел, таких как планеты Солнечной системы, центр масс может не соответствовать положению какого-либо отдельного члена системы.

Центр масс является полезной точкой отсчета для расчетов в механике, которые включают массы, распределенные в пространстве, такие как линейный и угловой момент планетарных тел и динамика твердого тела.В орбитальной механике уравнения движения планет формулируются как точечные массы, расположенные в центрах масс. Система центра масс — это инерциальная система отсчета, в которой центр масс системы покоится относительно начала системы координат.

История

Понятие центра масс было впервые введено древнегреческим физиком, математиком и инженером Архимедом Сиракузским. Архимед показал, что крутящий момент (сила поворота), прилагаемый к рычагу грузами, находящимися в различных точках вдоль рычага, такой же, как если бы все веса были перемещены в одну точку — их центр масс.

Архимед был первым человеком, который разработал способы нахождения центра масс в различных объектах.

Определение центра масс

Основная страница: Определение центра масс

Экспериментальное определение центра масс тела использует силы тяжести, действующие на тело, и полагается на тот факт, что в параллельном гравитационном поле у ​​поверхности земли центр масс совпадает с центром тяжести.

Центр масс тела с осью симметрии и постоянной плотностью должен находиться на этой оси.Таким образом, центр масс кругового цилиндра постоянной плотности имеет центр масс на оси цилиндра. Точно так же центр масс сферически-симметричного тела постоянной плотности находится в центре сферы. В общем, для любой симметрии тела его центр масс будет фиксированной точкой этой симметрии.

В двух измерениях

Экспериментальный метод определения центра масс состоит в том, чтобы подвесить объект с двух точек и сбросить отвес с точек подвеса.Пересечение двух линий — центр масс.

Форма объекта может быть уже определена математически, но может быть слишком сложной для использования известной формулы. В этом случае можно разделить сложную форму на более простые, более элементарные формы, центры масс которых легко найти. Если общая масса и центр масс могут быть определены для каждой области, то центр масс всего представляет собой средневзвешенное значение центров. Этот метод может работать даже с объектами с отверстиями, которые можно рассматривать как отрицательные массы.

Прямая развертка планиметра, известная как интегграф или целикометр, может использоваться для определения положения центроида или центра масс неправильной двумерной формы. Этот метод можно применить к фигуре с неровной, гладкой или сложной границей, где другие методы слишком сложны. Судостроители регулярно использовали его для сравнения с требуемым водоизмещением и центром плавучести корабля, а также для предотвращения его опрокидывания.

Приложения

Инженеры пытаются сконструировать спортивный автомобиль так, чтобы его центр масс был опущен, чтобы автомобиль лучше управлялся. Когда прыгуны в высоту выполняют «фосбери-флоп», они сгибают свое тело таким образом, чтобы оно касалось перекладины, а ее центр масс не обязательно ее касался.

Аэронавтика

Заглавная страница: Центр тяжести самолета

Центр масс — важная точка самолета, которая значительно влияет на устойчивость самолета.Чтобы самолет был достаточно устойчивым и безопасным для полета, центр масс должен находиться в определенных пределах. Если центр масс находится выше переднего предела, самолет будет менее маневренным, возможно, до такой степени, что он не сможет повернуться для взлета или развернуться для посадки. Если центр масс находится за задним пределом, самолет будет более маневренным, но также менее устойчивым и, возможно, настолько нестабильным, что полет будет невозможен. Моментное плечо лифта также будет уменьшено, что затруднит восстановление после остановки.

У вертолетов в режиме висения центр масс всегда находится непосредственно под головкой винта. В прямом полете центр масс смещается вперед, чтобы уравновесить отрицательный крутящий момент по тангажу, создаваемый применением циклического управления для продвижения вертолета вперед; следовательно, крейсерский вертолет летит «носом вниз» в горизонтальном полете.

Астрономия

Центр масс играет важную роль в астрономии и астрофизике, где его обычно называют барицентром .Барицентр — это точка между двумя объектами, где они уравновешивают друг друга; это центр масс, в котором два или более небесных тела вращаются вокруг друг друга. Когда луна вращается вокруг планеты или планета вращается вокруг звезды, оба тела фактически вращаются вокруг точки, которая находится вдали от центра основного (большего) тела. Например, Луна вращается не вокруг точного центра Земли, а вокруг точки на линии между центром Земли и Луной, примерно на 1710 км (1062 мили) ниже поверхности Земли, где их массы уравновешиваются. .Это точка, вокруг которой вращаются Земля и Луна, когда они движутся вокруг Солнца. Если массы более похожи, например, Плутон и Харон, барицентр окажется вне обоих тел.

Центр масс — Энциклопедия Нового Мира

«Центр тяжести» перенаправляется сюда.

В физике центр масс (CM) системы частиц — это особая точка, в которой масса системы ведет себя (для многих целей), как если бы она была сосредоточена. Центр масс зависит только от положений и масс частиц, составляющих систему. В контексте полностью однородного гравитационного поля центр масс часто называют центром тяжести — точкой, в которой, можно сказать, действует гравитация.Определив местонахождение центра масс системы, можно проанализировать движение всей системы в отличие от движения ее отдельных частей.

В случае твердого тела положение его центра масс фиксировано по отношению к объекту (но не обязательно в контакте с ним). В случае неплотного распределения масс в свободном пространстве, такого как, скажем, выстрел из дробовика, положение центра масс — это точка в пространстве между ними, которая может не соответствовать положению какой-либо отдельной массы.

Центр масс тела не всегда совпадает с его интуитивно понятным геометрическим центром. Например, инженеры пытаются сконструировать спортивный автомобиль так, чтобы его центр тяжести был как можно ниже, чтобы автомобиль лучше управлялся. Когда прыгун в высоту выполняет «фосбери-флоп», он включает в себя сгибание тела таким образом, чтобы прыгун мог оторваться от перекладины, а его центр масс — нет. ^[1] Кроме того, объект не будет опрокидываться, пока его центр масс находится в пределах его опоры.

Так называемая «система отсчета центра тяжести» (менее предпочтительный термин для системы отсчета центра момента) — это инерциальная система отсчета, в которой центр масс системы покоится.

Примеры

• Центр масс двухчастичной системы лежит на линии, соединяющей частицы (или, точнее, их отдельные центры масс). Центр масс находится ближе к более массивному объекту. (Подробнее см. Центр масс ниже.)
• Центр масс кольца находится в центре кольца (в воздухе).
• Центр масс сплошного треугольника лежит на всех трех срединных линиях и, следовательно, в центре тяжести, который также является средним значением трех вершин.
• Центр масс прямоугольника находится на пересечении двух диагоналей.
• В сферически симметричном теле центр масс находится в центре. Это приблизительно применимо к Земле: плотность значительно варьируется, но в основном она зависит от глубины и меньше от двух других координат.
• В общем, для любой симметрии тела его центр масс будет фиксированной точкой этой симметрии.

История

Понятие центра тяжести было впервые введено древнегреческим математиком, физиком и инженером Архимедом Сиракузским. Архимед показал, что крутящий момент, прилагаемый к рычагу грузами, находящимися в различных точках вдоль рычага, такой же, как если бы все веса были перемещены в одну точку — их центр тяжести. В работе с плавающими телами он продемонстрировал, что ориентация плавающего объекта — это такая ориентация, при которой его центр тяжести находится как можно ниже.Он разработал математические методы для нахождения центров тяжести объектов однородной плотности различной четко определенной формы, в частности треугольника, полусферы и усеченной части кругового параболоида.

В средние века теории центра тяжести были развиты Абу Райханом аль-Бируни, ар-Рази (латинизировано как Rhazes ), Омаром Хайямом и аль-Хазини. ^[2]

Математическое определение

Центр масс R {\ displaystyle \ mathbf {R}} системы частиц определяется как среднее их положений, ri {\ displaystyle \ mathbf {r} _ { i}}, взвешенные по их массам, mi {\ displaystyle m_ {i}}:

R = ∑miri∑mi {\ displaystyle \ mathbf {R} = {\ sum m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ over \ sum m_ {i}}}

Для непрерывного распределения с плотностью массы ρ (r) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})} и полной массой M {\ displaystyle M}, сумма становится интегралом:

R = 1M∫rdm = 1M∫ρ (r) r dV = ∫ρ (r) r dV∫ρ (r) dV {\ displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac { 1} {M}} \ int \ mathbf {r} \; dm = {\ frac {1} {M}} \ int \ rho (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {r} \ dV = {\ frac {\ int \ rho (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {r} \ dV} {\ int \ rho (\ mathbf {r}) \ dV}}}

Если объект имеет однородную плотность, тогда его центр масс совпадает с центром тяжести его формы.

Вывод

Следующие уравнения движения предполагают, что существует система частиц, управляемая внутренними и внешними силами. Внутренняя сила — это сила, вызванная взаимодействием частиц внутри системы. Внешняя сила — это сила, которая возникает извне системы и действует на одну или несколько частиц внутри системы. Внешняя сила не обязательно возникает из-за однородного поля.

В любой системе без внешних сил центр масс движется с постоянной скоростью.Это относится ко всем системам с классическими внутренними силами, включая магнитные поля, электрические поля, химические реакции и так далее. Более формально это верно для любых внутренних сил, которые удовлетворяют слабой форме Третьего закона Ньютона.

Полный импульс для любой системы частиц определяется выражением

p = Mvcm {\ displaystyle \ mathbf {p} = M \ mathbf {v} _ {\ mathrm {cm}}}

Где M обозначает общую массу, а v _см — скорость центра масс.Эту скорость можно вычислить, взяв производную по времени от положения центра масс.

Аналог Второго закона Ньютона —

F = Macm {\ displaystyle \ mathbf {F} = M \ mathbf {a} _ {\ mathrm {cm}}}

Где F обозначает сумму все внешние силы, действующие на систему, и a _см указывает на ускорение центра масс.

Допустимая общая внутренняя сила системы.

F = MR¨ {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {M} {\ ddot {\ mathbf {R}}}}

, где M {\ displaystyle \ mathbf {M}} — общая масса система, а R {\ displaystyle \ mathbf {R}} — вектор, который еще предстоит определить, поскольку:

p = ∑mjr˙j {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum {m_ {j} {\ dot {r}} _ {j}}}

и

F = p˙ {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ dot {\ mathbf {p}}}}

, затем

R = 1M∑mjrj {\ displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {1} {\ mathbf {M}}} \ sum {m_ {j} r_ {j}}}

Следовательно, это дает векторное определение центра масс в с точки зрения общих сил в системе.Это особенно полезно для систем с двумя телами.

Вращение и центры тяжести

Центр масс часто называют центром тяжести , потому что любое однородное гравитационное поле g действует на систему так, как если бы масса M системы была сосредоточена в центре масс R. Это видно. как минимум двумя способами:

• Гравитационная потенциальная энергия системы равна потенциальной энергии точечной частицы с той же массой M , расположенной в точке R.
• Гравитационный момент в системе равен крутящему моменту силы M г , действующей на R:

  R × Mg = imiri × g. {\ Displaystyle \ mathbf {R} \ times M \ mathbf {g} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {g}.}

Если гравитационное поле, действующее на тело, неоднородно, тогда центр масс не обязательно проявляет эти удобные свойства относительно силы тяжести. Как изложено в влиятельном учебнике Фейнмана Лекции Фейнмана по физике:

Центр масс иногда называют центром тяжести по той причине, что во многих случаях гравитацию можно считать однородной.… В случае, если объект настолько велик, что непараллельность гравитационных сил значительна, тогда центр, в котором необходимо применить уравновешивающую силу, не просто описать, и он немного отходит от центра масс. Вот почему нужно различать центр масс и центр тяжести.

Более поздние авторы часто менее осторожны, заявляя, что, когда гравитация неоднородна, «центр тяжести» отходит от CM. Такое использование, кажется, подразумевает четко определенную концепцию «центра тяжести» для неоднородных полей, но такой вещи нет.Саймон в своем учебнике Механика, показывает, что центр тяжести протяженного тела всегда должен определяться относительно внешней точки, в которой находится точечная масса, которая оказывает гравитационную силу на рассматриваемый объект. Еще хуже, как говорит Саймон:

Для двух протяженных тел в общем случае нельзя определить уникальные центры тяжести, даже относительно друг друга, за исключением особых случаев, когда тела находятся далеко друг от друга или когда одно из них является сферой… Общую проблему определения гравитационных сил между телами обычно лучше всего рассматривать с помощью концепций полевой теории гравитации….

Даже при рассмотрении приливных сил на планетах достаточно использовать центры масс, чтобы найти общее движение. На практике для неоднородных полей просто не говорят о «центре тяжести». ^[3]

Значение для авиации

Центр масс — важная точка самолета, которая существенно влияет на устойчивость самолета. Для обеспечения безопасности полета на самолете очень важно, чтобы центр тяжести находился в указанных пределах.Этот диапазон варьируется в зависимости от самолета, но, как правило, он центрируется примерно в одной четверти расстояния от передней кромки крыла до задней кромки крыла (точка четверти хорды). Если центр масс находится выше переднего предела, самолет будет менее маневренным, возможно, до такой степени, что он не сможет повернуться для взлета или развернуться для посадки. Если центр масс находится за задним пределом, моментное плечо руля высоты уменьшается, что затрудняет выход из состояния остановки.Самолет будет более маневренным, но при этом менее устойчивым и, возможно, настолько нестабильным, что будет невозможно летать.

Барицентр в астрономии

Барицентр (или барицентр; от греческого βαρύκεντρον ) — это точка между двумя объектами, где они уравновешивают друг друга. Другими словами, это центр тяжести, в котором два или более небесных тела вращаются вокруг друг друга. Когда луна вращается вокруг планеты или планета вращается вокруг звезды, оба тела фактически вращаются вокруг точки, которая находится за пределами центра большего тела.Например, Луна не вращается вокруг точного центра Земли, а вращается вокруг точки за пределами центра Земли (но значительно ниже поверхности Земли), где их массы уравновешивают друг друга. Барицентр — это один из фокусов эллиптической орбиты каждого тела. Это важное понятие в области астрономии, астрофизики и т.п.

В простом случае с двумя телами, r ₁ , расстояние от центра первого тела до центра масс определяется выражением:

r1 = a⋅m2m1 + m2 = a1 + m1 / m2 { \ displaystyle r_ {1} = a \ cdot {m_ {2} \ over m_ {1} + m_ {2}} = {a \ over 1 + m_ {1} / m_ {2}}}

где:

a — расстояние между центрами двух тел;

м ₁ и м ₂ — массы двух тел.

r ₁ по существу является большой полуосью орбиты первого тела вокруг барицентра, а r ₂ = a — r ₁ большая полуось орбиты орбита второго тела. Если барицентр расположен на в пределах более массивного тела, это тело будет казаться «раскачивающимся», а не движущимся по заметной орбите.

В следующей таблице приведены некоторые примеры из нашей солнечной системы. Цифры округлены до трех значащих цифр.Последние два столбца показывают R ₁ , радиус первого (более массивного) тела, и r ₁ / R ₁ , отношение расстояния до центра масс и этого радиуса: Значение меньше единицы показывает, что центр масс находится внутри первого тела.

Если m ₁ >> m ₂ — что верно для Солнца и любой планеты — тогда соотношение r ₁ / R ₁ приблизительно равно:

aR1⋅m2m1 {\ displaystyle {a \ over R_ {1}} \ cdot {m_ {2} \ over m_ {1}}}

Следовательно, барицентр системы Солнце-планета будет находиться за пределами Солнце, только если:

aR⨀⋅mplanetm⨀> 1⇒a⋅mplanet> R⨀⋅m⨀≈2,3 × 1011mEarthkm≈1530mEarthAU {\ displaystyle {a \ over R _ {\ bigodot}} \ cdot {m_ {planet} \ over m _ {\ bigodot}}> 1 \; \ Rightarrow \; {a \ cdot m_ {planet}}> {R _ {\ bigodot} \ cdot m _ {\ bigodot}} \ приблизительно 2.{11} \; m_ {Earth} \; {\ mbox {km}} \ приблизительно 1530 \; m_ {Earth} \; {\ mbox {AU}}}

То есть, где планета тяжелая и вдали от Солнца.

Если бы Юпитер имел орбиту Меркурия (57 900 000 км, 0,387 а. Е.), Барицентр Солнце-Юпитер находился бы всего в 5 500 км от центра Солнца ( r ₁ / R ₁ ~ 0,08). Но даже если бы Земля имела орбиту Эриды (68 а.е.), барицентр Солнце-Земля все равно был бы в пределах Солнца (чуть более 30 000 км от центра).

Чтобы вычислить фактическое движение Солнца, вам нужно будет просуммировать все влияния всех планет, комет, астероидов и т. Д. На Солнечную систему (см. Задачу о n телах). Если бы все планеты были выровнены по одну сторону от Солнца, общий центр масс находился бы примерно на 500 000 км над поверхностью Солнца.

Приведенные выше расчеты основаны на среднем расстоянии между телами и дают среднее значение r ₁ . Но все небесные орбиты имеют эллиптическую форму, и расстояние между телами варьируется между апсидами, в зависимости от эксцентриситета, e. Следовательно, положение центра масс также меняется, и в некоторых системах возможно, чтобы центр масс находился на иногда внутри, а иногда за пределами более массивного тела. Это происходит, когда:

11 − e> r1R1> 11 + e {\ displaystyle {1 \ over {1-e}}> {r_ {1} \ over R_ {1}}> {1 \ over {1+ e}}}

Обратите внимание, что система Солнце-Юпитер с e _Юпитер = 0,0484 просто не соответствует требованиям: 1,05 ≯ 1,07> 0,954.

Анимация

Изображения здесь репрезентативны, а не смоделированы.

Определение центра масс

Для произвольной двумерной физической формы

Этот метод полезен, когда кто-то хочет найти центр тяжести сложного плоского объекта с неизвестными размерами.

Для L-образного объекта

1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центр масс этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Проведите линию, соединяющую центр масс. Центр масс фигуры должен лежать на этой линии AB.
2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центр масс этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали.Проведите линию, соединяющую центр масс. Центр масс L-образной формы должен лежать на этой прямой CD.
3. Поскольку центр масс формы должен лежать вдоль AB, а также вдоль CD, очевидно, что он находится на пересечении этих двух линий в точке O. Точка O может , а не , находиться внутри L-образного объекта. .

Для составной формы

Этот метод полезен, когда вы хотите найти центр тяжести объекта, который легко разделяется на элементарные формы, центры масс которых легко найти.Здесь мы найдем центр масс только в направлении x . Эту же процедуру можно выполнить для определения центра масс в направлении y .

Форма. Его легко разделить на квадрат, треугольник и круг. Обратите внимание, что круг будет иметь отрицательную область.

В Списке центроидов мы отмечаем координаты отдельных центроидов.

Из уравнения 1 выше: 3 × −π2,52 + 5 × 102 + 13,33 × 1022 − π2,52 + 102 + 1022≈8,5 {\ displaystyle {\ frac {3 \ times — \ pi 2.{2}} {2}}}} \ около 8,5} шт.

Центр масс этой фигуры находится на расстоянии 8,5 единиц от левого угла фигуры.

Трассировка по периметру формы для определения центра масс

Прямая развертка планиметра, известная как интегграф, или целикометр, может использоваться для определения положения центра масс неправильной формы. Лучшим термином, вероятно, будет планиметр момента. Этот метод можно применить к фигуре с неровной, гладкой или сложной границей, где другие методы слишком сложны.Его регулярно использовали судостроители, чтобы корабль не опрокинулся. ^[4]

См. Также

Примечания

1. ↑ Майкл Ван Пелт, Космический туризм: Приключения на околоземной орбите и за ее пределами (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 2005, ISBN 0387402136), 185.
2. ↑ Салах Займече, Мерв, Фонд науки, технологий и цивилизации. Проверено 4 октября 2008 г.
3. ↑ K.R. Саймон, Механика, 3-е изд. (Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли, 1971).
4. ↑ С.Дж. Сангвин, Определение центра масс с помощью механических средств. Проверено 4 октября 2008 г.

Ссылки

• Фейнман, Ричард, Роберт Лейтон и Мэтью Сэндс. 1963. Лекции Фейнмана по физике. Лондон, Великобритания: Аддисон Уэсли. ISBN 0201021161.
• Гольдштейн, Герберт, Чарльз Пул и Джон Сафко. 2002. Классическая механика, 3-е изд. Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. ISBN 0201657023.
• Клеппнер, Даниэль и Роберт Коленков.1973. Введение в механику, 2-е изд. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0070350485.
• Мэрион, Джерри и Стивен Торнтон. 1995. Классическая динамика частиц и систем, 4-е изд. Форт-Уэрт, Техас: паб Saunders College. ISBN 0030973023.
• Мюррей, Карл и Стэнли Дермотт. 1999. Динамика солнечной системы . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521572959.
• Serway, Raymond A. и John W. Jewett. 2004. Физика для ученых и инженеров, 6-е изд.Бельмонт, Калифорния: Брукс / Коул. ISBN 0534408427.
• Саймон, Кейт Р. 1971. Механика, 3-е изд. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли.
• Типлер, Пол. 2004. Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика, 5-е изд. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: W.H. Фримен. ISBN 0716708094.

Внешние ссылки

Все ссылки получены 23 января 2017 г.

Кредиты

Энциклопедия Нового Света писатели и редакторы переписали и завершили статью Википедии в соответствии со стандартами New World Encyclopedia .Эта статья соответствует условиям лицензии Creative Commons CC-by-sa 3.0 (CC-by-sa), которая может использоваться и распространяться с указанием авторства. Кредит предоставляется в соответствии с условиями этой лицензии, которая может ссылаться как на участников Энциклопедии Нового Света, участников, так и на самоотверженных добровольцев Фонда Викимедиа. Чтобы процитировать эту статью, щелкните здесь, чтобы просмотреть список допустимых форматов цитирования. История более ранних вкладов википедистов доступна исследователям здесь:

История этой статьи с момента ее импорта в Энциклопедию Нового Света :

Примечание. могут применяться ограничения на использование отдельных изображений, на которые распространяется отдельная лицензия.

Центр масс человека

Реферат

Цель этого эксперимента — определить местонахождение центра масс людей, определить, отличается ли центр масс у мужчин и женщин, и рассчитать отношение центра масс человека к его / ее росту.

Введение

Центр масс — это точка баланса массы объекта. Если бы в этой точке был установлен стержень, объект остался бы на месте и был сбалансирован. Центр масс системы не всегда находится в геометрическом центре системы.Например, центр масс автомобиля расположен ближе к земле, а не к геометрическому центру автомобиля, поэтому автомобиль лучше сбалансирован. Другой пример — техника прыжка в высоту. Прыгун в высоту сгибает свое тело определенным образом, чтобы центр масс не касался перекладины, а тело -.

Когда система уравновешена вокруг своего центра масс, говорят, что она находится в состоянии равновесия. Центр масс можно назвать точкой поворота, вокруг которой может вращаться система.Система вращается за счет вращательного эквивалента силы, известного как крутящий момент, который вращает систему либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Размещение шарнира в центре масс системы приводит к тому, что эта система находится в равновесии и имеет нулевой чистый крутящий момент. На каждом конце длинного твердого тела крутящий момент на одном конце равен по величине, но противоположен по направлению крутящему моменту на другом конце, в результате чего чистый крутящий момент равен нулю. Формула крутящего момента:

Στ = rF

Где r = радиус и F = сила.Можно определить местонахождение центра масс системы, поместив ось в теоретический центр масс и используя формулу для крутящего момента, установив крутящие моменты на обоих концах длинного твердого тела, равные друг другу.

Схема

Процедура

1. Положите две деревянные балки 2 x 4 длиной примерно 243 см (8 футов) рядом друг с другом. стороны поперек двух шкал так, чтобы концы каждой балки находились на центр каждой шкалы.
2. Прикрепите двухметровые стержни встык к одной стороне одной из балок.Этот делается для того, чтобы измерить свой рост, когда человек лежит.
3. Зарегистрируйте вес балок, если никто не будет на них сверху. Это вес тары.
4. Попросите человека снять обувь, а затем уложить его поперек балки, убедитесь, что его / ее пятки совпадают с концом одной стороны балок. Есть человек лежал так, чтобы пальцы ног были направлены вверх, а руки были по бокам.
5. Запишите вес на каждой шкале. Если весы указаны в разных единицах, используйте преобразование, чтобы данные имели общие единицы измерения, т.е.е. килограммы в фунты, фунты в килограммы.
6. Запишите рост человека с помощью прикрепленных к нему измерительных стержней. к одной из деревянных балок.

Анализ

Для определения центра масс человека мы использовали формулу крутящего момента:

Στ = rF

Крутящие моменты, обусловленные весом на каждом конце человека, были установлены равными друг другу. Вес, отображаемый на весах, был силой, и есть два разных радиуса.Первый радиус — это расстояние до центра масс от ног человека, а второй радиус — это длина доски за вычетом расстояния до центра масс от ног человека. Чистый крутящий момент системы равен нулю, поэтому крутящие моменты на противоположных сторонах плат должны быть одинаковыми:

w ₁ x = w ₂ (l-x),

, где w ₁ равен весу у ног человека, x равен расстоянию от ног человека до его / ее центра масс, w ₂ равен весу у головы, а l равен равной длине балки.Полученная формула, вычисленная для расстояния до центра масс от ступней человека (радиус один), равна:

x = w ₂ l / (w ₁ + w ₂ )

После определения местоположения центра масс каждого человека отношение центра масс к росту каждого человека было рассчитано по формуле:

х / ч,

, где x — расположение центра масс человека, а h — рост человека.

Рис. 1: Эта гистограмма показывает частоту различных значений отношения центра масс к высоте, полученных от испытуемых женского пола.(Данные по выборке самок)

Рис. 2: Эта гистограмма показывает частоту различных значений отношения центра масс к росту, полученных от испытуемых мужчин. (Данные для выборки самцов)

Заключение

1. Центр масс человека находится немного ниже пупка, что почти геометрический центр человека.
2. Самцы и самки имеют разные центры масс — центры масс самок. ниже, чем у мужчин.
3. Среднее отношение центра масс к росту у самок составляет примерно 0,543, а среднее отношение центра масс к росту у мужчин составляет примерно 0,560.

Источники ошибок

1. Одежда увеличивала вес испытуемых и, следовательно, приводила к в смещении центра масс каждого человека.
2. Сердцебиение испытуемых вызывало смещение центра масс из-за центр масс изменяется по мере того, как сердце расширяется и сжимается — перекачивает кровь по всему телу.

Стефани Гамбино, Майкл Мирошник, Скотт Шехтер — 2005