Как стать умным по математике: 10 способов стать умнее — Naked Science

Как я перепрограммировала свой мозг, чтобы начать разбираться в математике / Хабр

Простите, реформаторы образования – нам всё ещё нужны зубрёжка и повторение

Я была капризным ребёнком, росшим на лирической стороне жизни, и относилась к математике и науке так, будто они были симптомами чумы. И потому странно, что я превратилась в человека, ежедневно имеющего дела с тройными интегралами, преобразованиями Фурье и, жемчужиной математики – уравнением Эйлера. Сложно поверить, что из матофоба я превратилась в профессора прикладных наук.

Однажды один из моих учеников спросил, как мне это удалось – как я изменила свой мозг. Мне хотелось ответить – чёрт возьми, с трудом! Я всё-таки заваливала экзамены по математике и физике в начальной, средней и высшей школах. Я записалась в класс для отстающих по математике после того, как отслужила в армии, в 26 лет. На выставке примеров нейропластичности у взрослых я была бы первым экземпляром.

Изучение математики и точных наук во взрослом возрасте открыло мне дверь в технические науки. Но эти тяжёлые взрослые изменения в мозгу открыли мне взгляд изнутри на нейропластичность, связанную со взрослым обучением. К счастью, моя докторская по системному проектированию, во время которой я постигала точные науки, технологии, технические науки и математику (STEM – Science, Technology, Engineering, Math), и моё последующее исследование на тему человеческого мышления, помогло мне понять недавние прорывы в неврологии и когнитивной психологии, связанные с обучением.

В последовавшие за получением мною докторской степени годы через мой класс прошли тысячи студентов – выращенных в начальной и средней школе с верой в то, что понимание математики через активное обсуждение является талисманом обучения. Если вы можете объяснить, что вы выучили, другим – допустим, нарисовав картинку,- тогда вы, наверное, действительно это поняли.

Примером этой техники, «сфокусированной на понимании», и объектом подражания стала Япония. Но из обсуждения часто пропадает конец истории: в Японии также изобрели и метод обучения «Кумон», который основан на запоминании, повторении и зубрёжке для достижения школьником отличного владения материалом.

Эту интенсивную программу послешкольного обучения предпочитают тысячи родителей в Японии и во всём мире, дополняя совместное обучение детей большим количеством практики, повторений, и с умом разработанной системой зубрёжки, с целью обеспечить им прекрасное владение материалом.

В США концентрация на понимании иногда заменяет, а не дополняет более старые методы обучения, которые, как подтверждают учёные, работают с естественными процессами мозга, изучающего такие сложные вещи, как математика и точные науки.

Последняя волна реформы обучения математике включает «Общее ядро» – попытку назначить жёсткие общие стандарты по всем США, хотя критики и говорят, что эти стандарты не соответствуют достижениям других, более продвинутых стран. Внешне у стандартов есть некая перспектива. Предполагается, что в математике ученики должны иметь равные возможности в концептуальном понимании, практических и процедурных навыках.

Дьявол, как обычно, в мелочах реализации. В сегодняшнем образовательном климате запоминание и повторение STEM-дисциплин, в отличие от изучения языка и музыки, часто расцениваются, как недостойные занятия, тратящие время учеников и учителей. Многие учителя давно считают, что понимание концепций в дисциплинах STEM имеет наивысший приоритет. Конечно, учителям легче вовлечь учеников в обсуждение математических тем (и этот процесс при правильном руководстве может сильно помочь в понимании задач), чем корпеть над выставлением отметок за домашние задания. В результате, хотя процедурные умения и свободное владение предметом должны преподаваться в тех же дозах, что и концептуальное понимание, часто этого не происходит.

Проблема с концентрацией только на понимании состоит в том, что ученики, постигающие математику и точные науки, часто могут нахвататься основных понятий о важной идее, но её понимание быстро ускользает без его закрепления через практику и повторение. Хуже того, ученикам часто кажется, что они понимают что-то, в то время, когда это не так. Такой подход часто может принести лишь иллюзию понимания. Как недавно сказал мне один из неуспевающих учеников, «Не пойму, почему я так плохо справился с заданием. Я ведь в классе всё понимал».

Ему казалось, что он всё понял, и возможно, что так и было, но он не использовал понятое на практике, чтобы оно закрепилось в мозгу. Он не выработал процедурного владения или способности применять знания.

Между обучением спортивной дисциплине и обучением математике и точным наукам есть интересная связь. Когда вы учитесь наносить удар клюшкой для гольфа, вы доводите удар до совершенства при помощи практики в течение нескольких лет. Ваше тело знает, что нужно делать, просто когда вы подумаете об этом – вам не нужно вспоминать все компоненты сложного взмаха для удара по мячу.

Точно так же, когда вы понимаете, почему вы что-то делаете в математика, вам не нужно каждый раз объяснять себе одно и то же. Вам не нужно носить с собой 25 шариков, выкладывать их по 5 рядов в 5 столбцов на столе, чтобы убедиться, что 5 х 5 = 25. В какой-то момент вы просто это знаете. Вы запоминаете, что при умножении одинаковых чисел в разной степени вы можете просто складывать степени (10⁴ x 10⁵ = 10⁹). Используя эту процедуру часто и в разных случаях, вы обнаружите, что вы понимаете, почему и как она работает. Лучшее понимание темы происходит из создания в мозгу осмысленного шаблона.

Я выучила всё это насчёт математики и насчёт самого процесса обучения не в классе, а по ходу течения моей жизни, как человек, в детстве читавший Мадлен Ленгль и Достоевского, изучавший языки в одном из ведущих мировых языковых институтов, а затем резко поменявший свой путь и ставший профессором технических наук.

Будучи молодой девушкой, страстно желавшей изучать языки, и не обладавшей нужными деньгами и навыками, я не могла позволить себе оплачивать колледж. Поэтому я после школы пошла в армию. Мне нравилось изучать языки в школе, и казалось, что армия – как раз то место, где человек может получать деньги за изучение языков, посещая высоко ценящийся языковой институт Минобороны – место, где изучение языков превратили в науку. Я выбрала русский, поскольку он сильно отличался от английского, но был не таким сложным, чтобы изучать его всю жизнь и дойти в итоге до уровня 4-летнего ребёнка. Кроме того, «Железный занавес» притягивал меня – не могла ли я использовать знание русского, чтобы заглянуть за него?

После армии я стала переводчиком на советских траулерах в Беринговом море. Работать на русских было интересно и увлекательно – но также это была внешне приукрашенная работа мигранта. Во время сезона добычи рыбы ты ходишь в море, зарабатываешь неплохо, периодически напиваешься, а затем возвращаешься в порт в конце сезона и надеешься, что тебя снова наймут в следующем году. Для русскоговорящего человека была практически только одна альтернатива этому – работа на АНБ. Мои армейские контакты подталкивали меня к этому, но у меня не лежала к этому душа.

Я начала понимать, что хотя знание другого языка – это хорошо, это был навык с ограниченными возможностями и потенциалом. Из-за моих возможностей склонять слова по-русски мой дом не осаждали. Если только я не была готова терпеть морскую болезнь и периодическое недоедание на вонючих траулерах посреди Берингова моря.

Я не могла не вспоминать об инженерах из Вест-Поинта, с которыми я работала в армии. Их математический подход к решению проблем явно был полезен для реального мира – более полезен, чем мои неудачи с математикой.

Так что, в 26 лет я, уходя из армии и оценивая возможности, вдруг подумала: если я хочу заняться чем-то новым, почему бы мне не попробовать нечто, что открыло бы мне целый новый мир перспектив? Технические науки, например? А это значило, что мне предстоит изучить новый язык – язык счисления.

С моим плохим пониманием простейшей математики, после армии я занялась алгеброй и тригонометрией по курсу для отстающих. Пытаться перепрограммировать мозг иногда казалось глупой идеей – особенно, когда я смотрела на лица моих более молодых одноклассников. Но в моём случае, а я ведь изучила русский в зрелом возрасте, я надеялась, что некоторые аспекты изучения языка можно применить в изучении математики и точных наук.

Изучая русский, я старалась не только понимать что-либо, но и достигать беглости в этом.

Беглость в таком обширном предмете, как язык, требует такой степени знакомства, которую можно выработать только повторяющейся и различающейся работой с различными областями. Мои одноклассники, изучавшие язык, концентрировались на простом понимании, а я старалась достичь внутренней беглости со словами и структурой языка. Мне недостаточно было того, что слово «понимать» означает «to understand». Я практиковалась с глаголом, постоянно использовала его в разных временах, в предложениях, а затем понимала не только то, где его можно использовать, но и где его использовать не нужно. Я практиковалась над быстрым извлечением из памяти этих аспектов и вариантов. Посредством практики можно понимать и переводить десятки и сотни слов с другого языка. Но если у вас нет беглости, то когда кто-то быстро выплёвывает вам кучку слов, как в обычном разговоре, у вас не возникает понятия о том, что этот человек говорит, хотя технически вы вроде бы понимаете все слова и структуру. И вы, конечно, не можете говорить достаточно быстро для носителей языка, чтобы им было приятно слушать вас.

Этот подход, сосредоточение на беглости, а не на простом понимании, вывел меня на первое место в классе. Тогда я этого не понимала, но этот подход дал мне интуитивное понимание основ обучения и выработки экспертных навыков – кускование [chunking].

Кускование впервые было предложено в революционной работе Герберта Саймона при анализе шахмат. Кусочками служили различные мысленные аналоги шахматных шаблонов. Нейробиологи постепенно пришли к пониманию того, что эксперты, допустим, в шахматах, являются таковыми, поскольку могут хранить тысячи кусочков знания в долгосрочной памяти. Мастера в шахматах могут вспомнить десятки тысяч различных шахматных шаблонов. В любой области эксперт может вспомнить один или несколько хорошо связанных вместе кусков нервных подпрограмм для анализа и реакции на новую ситуацию. Такой уровень настоящего понимания и возможность использовать это понимание в новых ситуациях приобретается только из знакомства с предметом, полученного от повторений, запоминаний и практики.

Изучение мастеров шахмат, врачей скорой помощи и пилотов истребителей показало, что в стрессовых ситуациях сознательный анализ ситуации уступает место быстрой подсознательной обработке данных, когда эксперты обращаются к глубоко интегрированному набору мысленных шаблонов – кусочков. В какой-то момент осознанное понимание того, почему вы делаете то, что делаете, начинает только замедлять вас и прерывает поток, что приводит к принятию худших решений. Я была права, интуитивно ощущая наличие связи между изучением нового языка и математики. Ежедневное и непрерывное изучение русского языка возбуждало и укрепляло нервные контуры в моём мозгу, и я постепенно начала связывать вместе славянские кусочки, которые легко можно было вызывать из памяти. Чередуя изучение, практикуясь так, что я знала не только когда можно использовать слово, но и когда его использовать не нужно, или нужно использовать другой его вариант, я использовала те же подходы, что используют для изучения математики.

Изучение математики и точных наук во взрослом возрасте я начала с той же стратегии. Я смотрела на уравнение – для простого примера возьмём второй закон Ньютона, F = ma. Я практиковалась в ощущении значения каждой буквы: «f», то есть сила,- это толчок, «m», масса,- тяжёлое сопротивление толканию, «a» было радостным ощущением ускорения. (В случае с русским языком я так же практиковала произношение букв кириллицы). Я запоминала уравнение, носила его в своей голове и игралась с ним. Если m и a – большие, то что будет с f в уравнении? Если f большое, а a – маленькое, какое будет m? Как с обеих сторон сходятся единицы измерения? Играться с уравнением – как связывать глагол с другими словами. Я начинала постигать, что смутные очертания уравнения напоминали метафорическую поэму, в которой существовали всякого рода красивые символические представления. И хотя тогда я бы так это не выразила, но для хорошего изучения математики и точных наук мне нужно было медленно и ежедневно строить прочные нервные кусковые подпрограммы.

Со временем профессора математики и точных наук сообщили мне, что построение хорошо зафиксированных в памяти кусочков опыта посредством практики и повторения было жизненно важно для достижения успеха. Понимание не приводит к беглости. Беглость приводит к пониманию. Вообще, я считаю, что реальное понимание сложной темы происходит исключительно от беглости.

Вторгаясь в новую для меня область, становясь инженером-электриком, и, в итоге, профессором инженерного дела, я оставила русский язык позади. Но через 25 лет после того, как я в последний раз подымала стакан на советских траулерах, мы с моей семьей решили совершить путешествие по Транссибу через всю Россию. И хотя я с удовольствием ожидала давно желанного путешествия, я ещё и волновалась. Всё это время я практически не говорила по-русски. Что, если я всё забыла? Что дали мне все те годы достижения беглости?

Конечно, впервые зайдя в поезд, я обнаружила, что говорю по-русски на уровне двухлетнего ребёнка. Я искала слова, мои склонения и спряжения путались, а почти идеальный ранее акцент звучал ужасно. Но основа никуда не делась, и постепенно мой русский улучшался. Даже рудиментарных знаний хватало для ежедневных нужд. Вскоре экскурсоводы начали подходить ко мне за помощью в переводе для других пассажиров. Прибыв в Москву, мы сели в такси. Водитель, как я потом поняла, попытался нас обмануть, поехав в другую сторону и застряв в пробке, считая, что не разбирающиеся иностранцы спокойно выдержат лишний час счётчика. Внезапно русские слова, которыми я не пользовалась десятки лет, вылетели из моего рта. Сознательно я даже не помнила, что знаю их.

Беглость, когда она понадобилась, оказалась под рукой – и выручила нас. Беглость позволяет пониманию встроиться в сознание, и всплывать по необходимости.

Смотря на недостаток людей, специализирующихся в точных науках и в математике в нашей стране, и наши текущие техники обучения, и вспоминая свой собственный путь, с сегодняшними моими знаниями о мозге, я понимаю, что мы можем достичь большего. Как родители и учителя, мы можем использовать простые методы углубления понимания и превращения его в полезный и гибкий инструмент.

Я открыла, что наличие основной и глубоко выученной беглости в математике и точных науках – а не простого «понимания», чрезвычайно важно. Оно открывает пути к самым интересным занятиям в жизни. Оглядываясь в прошлое, я понимаю, что мне не обязательно было слепо следовать моим изначальным склонностям и страстям. Та же самая «беглая» часть меня, обожавшая литературу и язык, в результате полюбила математику и точные науки – и в итоге, преобразила и обогатила мою жизнь.

Три способа стать умнее. Доказано наукой!

Почти каждый день появляется какое-нибудь громкое исследование из серии «Регулярный секс увеличивает IQ» или «Потребление морковки делает вас интеллектуальнее».

Но это всё бабушкины сказки, ведь официальная наука по всему миру признаёт только три классических способа оптимизировать свои интеллектуальные возможности.

Физические упражнения

Наше общество — странный предмет. С одной стороны, мы напрямую ассоциируем успешность человека и хорошую физическую форму, связывая фитнес с интеллектом. С другой стороны, есть стереотип, что спортсмены… скажем так, не самые интеллектуально подкованные люди.

Так помогают ли физические упражнения стать умнее? Ответ: да.

Ряд экспериментов доказывает, что физические упражнения напрямую влияют на умственную работоспособность.

Классическое исследование 1975  года, например, выявило, что пожилые люди, играющие в теннис или бадминтон, как правило, проходят когнитивные тесты со значительно лучшими результатами, чем их неспортивные сверстники.

Серия исследований 2010 года показала, что у детей 9–10 лет, которые больше двигаются, лучше память и больше гиппокамп — это именно тот участок головного мозга в форме морского конька, который играет ключевую роль в работе как краткосрочной, так и долгосрочной памяти.

За последние 10 лет было проведено как минимум четыре метаанализа, основанных на официально опубликованных исследованиях, которые пришли к одному выводу: физическая подготовка улучшает интеллектуальные способности.

Прочтите ещё раз этот пункт и осознайте главное: вы можете развить свой интеллект и память, просто достаточно занимаясь спортом.

Обучение музыке

Несколько лет назад на весь мир прогремело исследование, известное как «Эффект Моцарта». Учёный Фрэнсис Раушер и её коллеги пришли к выводу, что если родители играют своим детям музыку Моцарта, даже когда те ещё находятся в утробе матери, то младенцы становятся умнее. Один из американских губернаторов даже предложил выделить $105 тысяч, чтобы каждый ребёнок мог с рождения слушать классическую музыку.

Спустя какое-то время исследование было разгромлено. Одним из скептиков, который заявил, что «эффект Моцарта — это полная чушь», был психолог Гленн Шелленберг из Торонтского университета.

А в 2004 году именно Гленн опубликовал отчёт по исследованию, результаты которого утверждали: «Уроки музыки повышают IQ». В течение 36 недель детей младшего возраста обучали музыке.

«По истечении срока дети из музыкальных групп продемонстрировали значительно более существенное повышение IQ», — пришёл к выводу Шелленберг. Он также заметил, что повышает IQ не прослушивание Моцарта (как утверждала Раушер), а именно обучение музыке и игре на музыкальных инструментах.

Это исследование было процитировано 363 раза в других научных трудах. В 2011 году учёный повторил подобное исследование, и результаты снова подтвердились. До сих пор не было опубликовано ни одного исследования, которое опровергло бы выводы Шелленберга.

Медитативное сосредоточение

Третий способ стать умнее — это медитация. Как это работает?

Психолог Майкл Познер, автор доброй сотни научных трудов, провёл эксперимент, участники которого ежедневно медитировали. Майкл признаётся, что рассчитывал получить эффект от медитаций через несколько месяцев или даже лет. Но, как ни странно, изменения в белом веществе головного мозга были выявлены уже через две недели.

Учёные считают, что медитация — один из лучших способов улучшить когнитивные способности человека, усилить внимательность и концентрацию, расширить объём рабочей памяти.

Исследования Познера подтвердились по всему миру. Китайский учёный Ю-Юань Тэнг добился серьёзного эффекта от медитативного сосредоточения уже через пять дней.

Познер и Тэнг продолжили работу вместе и выяснили:

Техники медитативного сосредоточения не только приводят к тому, что мы становимся умнее и продуктивнее, но и позволяют расслабиться, не впадать в депрессивные состояния и быть более счастливым.

Все эти способы стать умнее хороши не только с точки зрения науки, но и с точки зрения здравого смысла, поэтому занимайтесь спортом, медитируйте и купите себе губную гармошку! 🙂

По материалам книги «Стань умнее»

Известный математик о проблемах преподавания в школе — Реальное время

Математик с мировым именем о проблемах преподавания царицы наук в России

В российских школах образовалась огромная пропасть в преподавании математики. Если в обычных учебных заведениях «не учат буквально ничему», то в «крутых» — куют будущих победителей международных олимпиад. «Есть и середина, например, добротные кадетские классы или классы хороших православных гимназий, где школьники знают математику получше, чем «в среднем по больнице», — утверждает знаменитый математик, профессор Московского физико-технического института и популярный блогер Алексей Савватеев. В интервью «Реальному времени» популяризатор рассказал о причинах образовательного кризиса, лучших школах математики в стране и о том, как царица наук может доказать существование Абсолютной Истины или Бога.

«В этом анекдоте вся суть дела»

— Алексей, большинство людей никогда не пользуется в жизни или на работе знаниями из старших классов школы и вуза. Вы считаете, что всем нужно изучать синусы, производные, интегралы? Если да, то зачем?

— «Учитель! А разве мне пригодится вся эта ваша математика?» — «Нет, она пригодится только умным детям!» В этом анекдоте — вся суть дела. Подобно тому, как стихи Бродского для грубого невежи звучат как абракадабра, а у ценителя вызовут самые высокие резонансы в душе, так и все математические конструкции окажутся полезными только для людей тонкого чутья, ума и интеллекта.

Математика не учит тому, как ее использовать — это каждый должен научиться делать сам. И это правильно — иначе бы она метала бисер перед известно кем.

— Насколько велика разница между преподаванием математики по программам элитных гимназий и обычных школ? Какие школьные учебники по математике вы можете порекомендовать?

— Учебников, кроме Пчёлко и Киселева, я никаких рекомендовать не хочу: «самое лучшее вино — это вино выдержанное», и вышеназванные книги проверены многими поколениями школьников. Из современных книг, как мне кажется, каждый, вооружившись теми знаниями, которые содержатся в Киселеве, найдет себе материал по вкусу.

Что же касается преподавания в школах, то, боюсь, ни один человек «извне» не способен даже представить себе ту пропасть, которая сформировалась в этом месте. Здесь просто нет никакого сравнения.

В обычных школах не учат буквально ничему, а в крутых школах куют будущих победителей международных олимпиад. Это даже не небо и земля, это свежий ветер и полный вакуум. Есть и середина — например, добротные кадетские классы или классы хороших православных гимназий, где школьники знают математику получше, чем «в среднем по больнице». Видел сам и свидетельствую об этом.

Фото: vk.com/alexei_savvateev

Что же касается преподавания в школах, то, боюсь, ни один человек «извне» не способен даже представить себе ту пропасть, которая сформировалась в этом месте. Здесь просто нет никакого сравнения

— Почему образовалась такая пропасть?

— Господь всех создал очень-очень разными, с разными в том числе и способностями к математике. Пропасть была всегда, но она расширяется по мере смены советского «курса на уравниловку» курсом на «социальный дарвинизм», как бы ни относиться к последнему. Люди, способные к математике, получают при «социальном дарвинизме» больше шансов, возможностей и свободы. СССР был страной работяг, «диктатурой пролетариата», а на деле — диктатурой серости и послушности. Нынче все-таки другие времена.

— В одном интервью вы несколько раз говорили про вдохновение, которое сопровождает изучение математики. Этот момент сложно понять людям, кому математика кажется невыносимо тяжелым предметом. Вы считаете, что каждого человека можно вдохновить на изучение математики, или с рождения нужен специфический склад ума?

— Если честно, то, конечно, не каждого. Математикой «ушиблено» около 5 процентов населения, из них только каждый пятый (уже 1 процент остался!) это осознает. Еще каждый десятый (одно промилле в итоге) решает развивать свои знания. Примерно так.

— Получается, что наша система образования рассчитана максимум на 5% людей? А что делать 95%, которым не повезло получить математический склад ума? Бесполезно тратить время над тем, что они не могут понять?

— Я бы не хотел вдаваться в эти философствования. Ни один из этих 95% не жалуется на отсутствие знаний по математике. Люди, наоборот, даже рады ничего не делать для понимания предмета. Будут ли эти 95% хорошо знать математику — не так важно, как то, будут ли ее знать на отлично оставшиеся 5%. Над чем я изо всех сил и работаю в России.

— В каких школах России самые сильные преподаватели по математике?

— Это хорошо известный список — московские школы №179, 2, 57; питерская №239; челябинский 31-й лицей; РЕМШ в Адыгее; одна из школ Кургана; я не огласил и половины списка. Ярославль, Калуга, Ижевск, Иркутск, Новосибирск, Киров имеют первоклассные школы и первоклассных учителей. Я прошу прощения у всех, кого я не упомянул.

Хороших школ и ярчайших учителей — многие сотни, если не тысячи, по стране. Кроме того, в России живут и творят свои шедевры, навскидку, около 500 выдающихся задачных композиторов (часто это те же преподаватели, но не всегда). Россия богата талантами, как никакая страна в мире — и это не фашизм, а простая констатация факта!

Фото: vk. com/alexei_savvateev

Математикой «ушиблено» около 5 процентов населения, из них только каждый пятый (уже 1 процент остался!) это осознает. Еще каждый десятый (одно промилле в итоге) решает развивать свои знания. Примерно так

«Только ограничение информационного потока может вывести ребенка на орбиту успеха»

— Чтобы вы посоветовали родителям из глубинки, где нет выдающихся школ, или тем родителям, у кого нет возможности отдать своего ребенка в такую школу? Как можно помочь ребенку развить интеллект, получить хорошее образование, если нет больших денег?

— Вы спрашиваете про деньги, и сразу ясно, что вы «не в теме». Это в блатных (а на деле — отстойных) заведениях для поступления нужны деньги. Все хорошие математические школы отбирают строго по собеседованиям. Любой талантливый школьник, даже из самой бедной семьи, без труда поступит в такую школу, его даже еще раньше распознают по результатам всяких интернет-конкурсов.

Заочные конкурсы, интернет-олимпиады, онлайн-кружки — вот путь наверх. Лучше вместе с родителями их проходить. Для детей из младших классов есть matznanie.ru, для средних и старших — много всего, например, мой YouTube-канал, а также мои 100 уроков математики, из которых 20 уже сняты в суперкачестве фондом «Дети и Наука».

— Детям сложно справиться с информационным потоком в Сети, который отвлекает от обучения и распыляет внимание. Получается, если не давать ребенку смартфон и не позволять сидеть в соцсетях, скорее всего, он будет намного умнее остальных детей в классе?

— Не скорее всего, а наверняка. С вероятностью 1. Конечно, если у ребенка при этом есть математические способности от рождения. Мой старший сын — отличный тому пример: у него нет смартфона, он участвует в финалах всероссийских олимпиад как по математике, так и по информатике. Однако и для остальных моих детей (а у меня их пятеро) я придерживаюсь тактики ограничения времени онлайн. Даже если в математику они не пойдут. Есть одно главное, что родитель должен сегодня понять: только ограничение информационного потока может вывести ребенка на орбиту успеха. Точка.

— Расскажите о роли математики в современной науке. Она остается царицей всех наук?

— Она не просто остается Царицей. Она именно сегодня ею становится в полной мере — после того, как во всех других областях знания был осознан неточный, приблизительный характер любых делаемых утверждений. Даже в физике! На разных масштабах и уровнях применяются совершенно разные модели, и «универсальной физической картины мира» скорее нет, чем она есть. Я уже не говорю о науках пограничных между естественными и гуманитарными, таких как экономика и социология, да и во многом даже биология. Там вообще точное знание если порой и добывается, то такая ситуация — очень большая редкость.

Все науки, осознавая абсолютность математического знания, пытаются равняться на него и переходить на «математические рельсы», но математика дарит им всем ровно столько, сколько им всем положил Господь. И лишь для одной науки у Него нет границ щедрости: для Царицы всех наук, Его главной любимицы — Математики!

Фото: vk.com/alexei_savvateev

Есть одно главное, что родитель должен сегодня понять: только ограничение информационного потока может вывести ребенка на орбиту успеха. Точка

«В математике есть целый ряд видимых «проявлений» Бога»

— Математика может доказать, что Бог есть?

— Концепция строгого доказательства вообще присутствует только в математике. Бог математику создал, поэтому он сам выше нее — и тем самым выше любых строгих доказательств. Никаким законам Господь Бог не подчиняется, напротив, это именно Он сочиняет законы и для математики, и для любых других наук. Данным богословским вопросом добрую половину жизни интересовался один из величайших ученых — Исаак Ньютон.

В математике есть целый ряд видимых «проявлений» Бога (но, конечно, как объяснено выше, доказательством Бытия Божьего ни одно из них не является). Первое указание на Него — это «актуальная бесконечность», а также тот факт, что мы вообще умеем с ней «работать». Мы можем просуммировать бесконечный ряд. Мощный компьютер может просуммировать только триллион триллионов слагаемых. А ум математика может сказать, чему равна сумма бесконечного ряда (в определенных случаях). Ум математика говорит, что 1+1/2+1/4+1/8+1/16+… равно в точности 2. Не меньше и не больше. Это проявление чего-то такого, чего нет в материальном мире, где все по определению конечно.

Далее идет идеальный образ. Переход через бесконечность — это лишь одно из проявлений идеализации чего-то. Миллиард слагаемых мы заменяем на бесконечность, и нам часто становится легче найти их полную сумму. Таких идеализаций очень много в математике. Математика дает такие сильнейшие методы, как дифференциальное и интегральное исчисление, которые на выходе дают решения конкретных практических задач.

Вы решаете задачу в идеализации, возвращаетесь к реальной задаче — и «идеальное», а в жизни приближенное решение вас полностью устраивает! Если нарисовать окружность на доске, то она не будет идеальной, но каждый школьник видит за этим рисунком идеальную окружность. Платоновские образы — это и есть Бог, точнее, Его присутствие в математике.

Далее идет теорема Гёделя о неполноте, грубо говоря, повествующая о том, что в любой непротиворечивой теории, построенной на аксиомах, есть утверждение, которое в ней истинно, но не доказуемо ее средствами. Это математическая теорема. Это непосредственное, прямое указание на Бога, положившего нам «границы постижимого».

Фото: vk.com/alexei_savvateev

Ученый может быть как агностиком, так и верующим в Бога. А вот агрессивный атеизм с научным подходом несовместим «от слова совсем»

И последнее. В математике есть системы линейных дифференциальных уравнений, в которых скорость изменения любого параметра в любой момент является линейной комбинацией всех участвующих в постановке задачи параметров. Мы умеем решать такие уравнения еще со времен Ньютона. А вот если дифференциальные уравнения нелинейны, то мы не просто не умеем их решать, мы часто не можем дать даже приближенного прогноза поведения решения ни на какой разумный период времени. Почему прогноз погоды с математической точки зрения невозможен на семь дней вперед и далее? Потому что системы дифференциальных уравнений, которые используются для прогноза погоды, непредсказуемы принципиально. В них заложена такая неприятная вещь, как локальная неустойчивость.

Если, например, вы выйдете на улицу и глубоко выдохнете, то этим вы можете инициировать совершенно другой сценарий развития климата. Это такой эффект бабочки. Это свойство практически всех процессов, которые описывают реальные вещи — течение жидкости, перемещение газа, многое другое. Возникает прочное ощущение, что Господь прямо сказал нам, ученым: «А дальше я вас не пускаю! Да, вы можете написать эти уравнения, но я вам не разрешаю их решать с той точностью, с которой вы хотите».

Имеющий уши — да слышит. А кто не понял ничего из только что сказанного и продолжает твердить, подобно барану, что Бога нет и «наука это доказала», то что тут можно поделать? Только руками развести. Как говорится, «насильно в мир иной не затащишь», как умрут — так все сразу и узнают. И заодно по шапке как следует получат за свое невежество!

— А кто такой атеист, по-вашему? Среди ученых их много?

— Надо различать атеистов и агностиков. Атеист — это такой сектант, который сам себя убедил в отсутствии Бога и со всеми играет в игру «Вы меня не переубедите». Естественно, никто его и не переубедит, даже если ему Бога, сошедшего с Небес, покажут. Он скажет, что это галлюцинация была. Агностик же говорит так: «Я Бога не видел, следовательно, утверждать о Его наличии или отсутствии не берусь». Это вполне себе «научная» позиция, имеющая право на существование и уважение (в отличие от атеистической).

Ученый может быть как агностиком, так и верующим в Бога. А вот агрессивный атеизм с научным подходом несовместим «от слова совсем». Впрочем, настоящий ученый редко бывает даже и агностиком, ибо из любой глубокой науки Бог просто «выпирает». Не замечать Его — это особое искусство, но все-таки данное явление встречается в ученом мире.

— Есть ли открытия в математике в последние годы, о которых стоит узнать широкому кругу наших читателей?

— Здесь все зависит от того, что понимать под «последними годами». Если лет 30, то это и Великая теорема Ферма, и «развязывание узлов» Васильевым, Гусаровым и Концевичем, и доказательство Перельмана великой гипотезы Пуанкаре. В самые последние годы если и был прогресс, то его трудно изложить простым языком. Даже я ничего там не понимаю!

Матвей Антропов

Справка

Алексей Савватеев — доктор физико-математических наук, популяризатор математики, проректор университета Дмитрия Пожарского, профессор Московского физико-технического института, научный руководитель Кавказского математического центра, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, разработчик, вдохновитель и лектор курса «100 уроков математики», автор книги «Математика для гуманитариев. Живые лекции».

ОбществоОбразование

30 простых способов стать умнее

1. Больше читай

Чем сложнее и необычнее будут книги, тем лучше. Сложные конструкции, длинные, развернутые предложения, редкие слова, заумные статьи из нашего журнала и особенно стихи — самый настоящий «Растишка» для твоего мозга.

2. Барабань по столу

А еще лучше возьми за правило аккомпанировать услышанной музыке: на колене, крышке стола или свежекупленном тамтаме — не важно. Ладонями или палочками для еды. Нейро­биолог Анируд Патель из Сан-Диего считает, что чувство ритма играет важную роль в обучении. Ведь за него отвечают базальные ганглии — доли мозга, вовлеченные в моторные функции.

3. Слушай классическую музыку

Особенно Моцарта. В 1995-м психолог Френсис Раушер хитростью заманила в комнату тридцать крыс. Два месяца там периодически звучала Соната для двух фортепиано до мажор. После эксперимента выяснилось, что животные стали не только лучше танцевать, но и пробегать лабиринт быстрее и с меньшим количеством ошибок, чем другая группа крыс, живших эти два месяца в тишине.

4. Тренируй память

У лондонских таксистов, например, увеличен гипокамп — часть мозга, отвечающая за эмоции и память. Чем ты хуже?

■ Помести в закладки сайт brainscale.ru. Там ты найдешь один из вариантов задачи «N назад», разработанной в 1958 году для исследования и стимуляции активности определенных зон мозга, развития рабочей памяти, логического мышления и способности к концент­рации внимания. Постарайся проходить тест ежедневно, выделяй на это несколько минут в начале дня и столько же в конце. Согласно исследованию, проведенному в 2008 году Сюзанной Йегги, регулярные тренировки в выполнении этой задачи способны значительно развить подвижный интеллект, расширить рабочую память человека, улучшить логическое мышление и способность концентрироваться.

■ Составив список продуктов, которые нужно купить, перечитай его несколько раз и постарайся запомнить не их названия, а свой будущий путь по разным отделам в магазине. Собрав все в тележку и стоя в очереди, попытайся в уме подсчитать общую сумму. Если она потом окажется верной, можешь купить себе в награду кустик шпината: он хорош для памяти.

■ Ежедневно выделяй полчаса на заучивание стихов. Последний раз ты занимался этим в детском саду, но все слова вылетели из твоей головы в тот момент, когда официальная часть праздника закончилась и гроб опустили в землю. Содержание стихотворений никакой роли не играет.

5. Выпей кофе

Кофеин стимулирует выброс нейромедиаторов дофамина и норадреналина, они помогают дольше оставаться в тонусе и сохранять концентрацию. Важно не переборщить: от очень большой дозы кофеина ты перевозбудишься и не сможешь мыслить рационально. Кофеин в дозах более 300 мг (четыре чашки натурального кофе) в сутки подарит состояние тревоги, головную боль, тремор, аритмию.

6. Альберт Эйнштейн

Физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии сказал: «Интеллектуальный рост должен начинаться с момента рождения и прекращаться только со смертью. Знать, где можно найти информацию и как ее использовать, — вот в чем заключается секрет успеха. Разум, однажды расширивший свои границы, никогда не вернется в прежние. Выдающиеся личности формируются не посредством красивых речей, а собственным трудом и его результатами».

7. Марк Порций Катон

Старший государственный деятель, писатель: «Мудрый человек больше учится у дураков, чем дураки у мудрого».

8. Играй в шахматы, шашки и покер

Эти игры не только могут сделать тебя богаче, но и прекрасно развивают мышление. Если ты считаешь, что играешь в шахматы слишком хорошо, попробуй играть еще и на время, чтобы на принятие решения уходило не больше минуты.

9. Развивай свое численное чувство

Да-да, у тебя уже есть такое. Выуди из кармана горсть мелочи, мельком взгляни на нее и попробуй по памяти сосчитать общую сумму. Вероник Изгард, когнитивный психолог из Гарварда, выяснила, что за счет отвечают древние структуры мозга, возрастом что-то около квазилиона лет (такое число есть? У нас плохо с этим), но развиваться они могут на протяжении всей жизни. Чтобы проверить, насколько твое ЧЧ развито на данный момент, пройди короткий тест или масштабный тест, результаты которого даже сохранятся в анналах американского университета и помогут двинуть вперед науку. Ну а дальше — развивай ЧЧ. Самый простой способ — упаковывание вещей в сумку. Когда ты прикидываешь, как бы их лучше впихнуть, твой мозг решает сложнейшие задачи и тренируется.

10. Корми мозг правильно!

Особенно если до сих пор не можешь до конца рассказать ни одного стихотворения из школьной программы, а о днях рождения знакомых тебе напоминает Facebook.

■ Грецкие орехи. Чуть ли не главная пища для эрудита! Они даже внешне похожи на мозг. Пять орехов в день — и ты будешь обеспечен лецитином, улучшающим работу мозга и активизирующим память. Еще орехи полезны, если ты вдруг живешь в условиях повышенной радиации.

■ Рыба. Немногословная и холодная, она богата йодом, в ее мясе содержатся жирные кислоты омега-3, обеспечивающие быстрый приток энергии, необходимой для передачи импульсов в клетках мозга. Они же регулируют уровень холестерина в крови и улучшают работу сосудов. Если будешь съедать хотя бы 100 граммов рыбы в день, у тебя увеличится скорость реакции и ты снизишь риск развития болезни Альцгеймера.

■ Тыквенные семечки. Высыпь полстакана в карман пиджака и во время офисных скандалов улучшай память и заставляй мозг быстрее соображать. Все благодаря цинку.

■ Шпинат. Добавляй его в утренний омлет два-три раза в неделю. Содержащийся в шпинате лютеин защитит клетки мозга от преждевременного старения.

■ Шалфей. В Университете Джона Хопкинса выяснили, что шалфей подавляет действие аминокислот, ответственных за нарушение памяти. Теперь там ежедневно пьют чай с шалфеем и все про всех помнят.

11. Пытайся угадать следующую фразу собеседника

Ребекка Сейкс из Массачусетского технологического института уверена, что при должной тренировке люди смогут понимать окружающих и вовсе без слов — по выражению лица, взгляду и другим подобным признакам. За это отвечает секция мозга, которая находится за правым ухом и отвечает за интуицию.

12. Заведи блог

Рассказывая в нем о событиях дня, ты не только научишься четко формулировать мысли, но и будешь постоянно думать над новыми темами и колкими ответами на вопросы преданных читателей.

13. Коити Тохэй

Писатель, мастер айкидо, обладатель 10-го дана, основатель Общества ки и стиля айкидо: «Чтение — краеугольный камень интеллекта. Заполняйте свое свободное время чтением всевозможных книг. Читайте романы, документальную литературу, биографии. Сначала быстро просматривайте книгу, чтобы составить о ней общее представление. Если вам покажется, что это имеет смысл, перечитайте ее снова. В результате повысится способность вашего мозга приспосабливаться к различным обстоятельствам и упорядочивать самые разнообразные данные».

14. Решай кроссворды

Удивительно, но это действует: работу мозга здорово подстегивают серьезные кроссворды.

15. Константин Шереметьев

Исследователь, автор проекта «Интеллектика» (www.sheremetev.info), автор книг «Совершенный мозг: Как управлять подсознанием» и «Как стать умнее»: «Кто-то считает, что если в школе он неплохо решал задачи по математике или что-то в подобном роде — значит, он умный и таким останется навсегда. Это несусветная чушь. Если в 18 лет накачать себе мышцы, а потом лечь на диван и забыть о них, то очень скоро они атрофируются. И с эффективностью работы мозга происходит то же самое».

К ответу!

На наши глупые вопросы умно отвечает Константин Шереметьев.

Кого можно считать умным?

Человека, который использует свой мозг для решения повседневных задач. Основная мыслительная деятельность проходит в подсознании. Обращаться с ним не учат в школе, поэтому мозг большинства людей работает вхолостую. Он никак не помогает им в жизни. А основное предназначение интеллекта — обеспечить выживание. Поэтому, чтобы оценить ум человека, запомни правило: результат работы интеллекта — это изменение материального мира.

Выживание? Тогда кто умнее — офисный работник или охотник в дикой природе?

Как ни странно, мозг эти виды деятельности не различает. Обоим нужно исследовать то, что их окружает, и научиться эффективно действовать в данной обстановке.

Сколько минут или часов в день нужно выделять на тренировку мозга?

Мозг работает круглосуточно. Вопрос лишь в том, какую нагрузку ты ему даешь. Если ты критически смотришь на жизнь, ищешь то, чем хочешь заниматься, реализуешь себя, то мозг начинает работать на полную катушку. Если же мыслительной нагрузки нет, он атрофируется и способен только на мышление по шаблону.

Вы разрабатывали программу реагирования на нештатные ситуации для космонавтов. Они что, умнее тех, кто в космосе не был?

Я заносил знания в разных областях в систему искусственного интеллекта, чтобы в опасной ситуации она подсказала верное решение. Но можно копить полезные советы на все случаи жизни в телефоне. Тогда, например, в случае ДТП точно будешь знать, что делать.

16. Выучи иностранный язык

Андреа Мэчелли, доктор неврологии Лондонского университета, доказывает, что людям, которые знают несколько иностранных языков, легче переключаться между разными умственными задачами. Дополнительный толчок в развитии твоему мозгу даст новый способ изучения непонятных иностранных слов.

■ Скажем, изучение языка с помощью параллельных переводов. На сайте getparalleltranslations.com ты найдешь книги, на страницах которых одновременно размещены английский и русский тексты. По сути, это те же самые титры, с которыми ты так любишь смот­реть свежие сериалы.

■ Словацкий веб-разработчик Вой­тек Риник считает, что слова нужно учить до того, как они встретятся тебе в книге. Удивленный его советом, ты должен скормить незнакомый текст сервису wordsfromtext.com, он в ответ сгенерирует список наиболее употребляемых слов и предложит тебе отметить в нем незнакомые. Их по желанию можно распечатать с переводом, вызубрить и уже во всеоружии наброситься на ничего не подозревающую литературу.

17. Установи себе умное приложение

Чувствуя неприятную пульсацию в слишком быстро растущем мозге, мы уткнулись в экраны мобильных телефонов в надежде найти спасение в какой-нибудь отупляющей игре. Но что это? И на мобильных устройствах не ступить шагу от засилья развивающих программ!

■ Тренажер памяти. Последовательно запоминай нажатия разноцветных кнопок и повторяй их. По сути, это все та же задача «N назад», замаскированная под игру.

■ Einstein. Тренировка для ума. HD-сборник из 30 упражнений для развития логики, памяти, счета и внимания.

■ Мозг гения. Вариация на тему известной логической задачи, созданной, по легенде, Эйнштейном от нежелания ходить в детский сад.

18. Не теряй времени

Если на работе выдалась свободная минута и ты хочешь посмотреть пару-тройку метров смешных картинок, лучше открой Википедию и прочитай случайную статью.

19. Гуляй

Достаточно три раза в неделю по полчаса дефилировать вокруг дома, чтобы на 15% лучше концентрировать внимание, обучаться и абстрактно мыслить. И дело тут не только в притоке кислорода к твоим захиревшим в офисной духоте нейронам: ученые из Института Солка доказали, что умеренная физическая нагрузка на свежем воздухе заставляет мозг наращивать новые клетки.

Ученые объяснили, почему одни дети учатся хорошо, а другие плохо

Как из двоечника стать отличником? Что надо знать, чтобы хорошо сдать ЕГЭ по математике? Сколько минут надо потратить на то, чтобы понять условие задачи? Как работать с неуспешными учениками? На вопросы «РГ» отвечает заведующий кафедрой педагогической психологии факультета психологии образования Московского государственного психолого-педагогического университета Виктор Гуружапов.

Впервые российские психологи заговорили о том, что у наших школьников появилась «математическая тревожность». За границей ученые говорят уже о «математической фобии». Что это такое?

Виктор Гуружапов: «Математическая тревожность» — страх оценки, тревога при изучении математики, страх перед решением задач, страх перед учителем математики. Считается, что математическая тревожность формируется к 4-5 классу. Пик — 9-10-й класс. Есть исследователи, которые считают: математической тревожностью страдают две трети американцев. Они избегают всего, что связано с вычислениями, цифрами, ненавидят математику… В России ситуация иная: в середине прошлого века у нас прошла реформа математического образования, и школа у нас дает хорошие знания. И все же надо признать: в старших классах уровень предметного содержания по математике был завышен. Сегодня требования смягчаются, ЕГЭ по математике разделен на базовый и профильный. Базовый уровень — довольно простой. Согласен, что математическая тревожность может помешать успешно сдать экзамен, но когда ее совсем нет, тоже не очень хорошо. Полная самоуспокоенность чем-то сродни наплевательскому отношению к предстоящему испытанию. В результате ученик не готовится серьезно к экзамену.

Еще недавно во многих престижных школах проводилось так называемое психологическое тестирование, где ребенка могли попросить посчитать от 1 до 10 и обратно. С виду невинная вещь. На деле — трудности с этим заданием могут говорить о дискалькулии — неспособности к изучению арифметики. Правда, что примерно у 7 процентов учеников дефектологи диагностируют дискалькулию?

Виктор Гуружапов: Эта цифра сильно завышена. За десятки лет педагогической работы я встречал единицы таких детей. Я вообще не сторонник того, чтобы специальные термины, такие специфические темы, исследования выносить на широкое обсуждение. Это дело специалистов. Что касается обратного счета, то так называемыми обратимыми операциями в 6 лет ребенок может и не владеть. Ничего страшного нет. Годам к 7-8 эта способность появляется почти у всех.

Вот что важно: сейчас появился интерес к изучению причин учебной неуспешности детей. Предстоит большая работа по привитию будущим учителям умения работать с ошибками учеников, определять случаи, когда надо обратиться к дефектологу, а когда — изменить методику обучения.

Очень часто причины ошибок — не из области дефектологии, а из области психологии обучения. Мы проводили эксперимент: учителя должны были прочитать детям задачу и дать 10 секунд на размышление. И только потом требовать от них ответ. Секундомера у них не было, и как вы думаете, сколько времени они давали ученикам?

Минуту? Две?

Виктор Гуружапов: Три секунды! Срабатывает привычка: надо делать все как можно быстрее. Времени на то, чтобы думать, почти нет. Такую же модель поведения перенимают и дети. Вот интересная задачка для младших школьников. «Есть две пирамидки, в каждой — по пять колец. К той, что справа, прибавили кольцо. Какая пирамидка стала больше?» Дети отвечают: «В правой!». А теперь еще одна вроде бы такая же задачка: «Есть две другие пирамидки, к той, что справа, прибавили кольцо, а у той, что слева, — два. Где стало больше колец?» И дети, сильно не задумываясь, отвечают: «Слева!». Это неверно, так как в условиях не сказано, сколько колец было в каждой из пирамид во втором случае? Иногда, чтобы избежать ошибки, надо просто дать ребенку время подумать.

Процедура решения задачи складывается из четырех шагов. Первый — прочитать задачу, второй — осознать ее, третий — вспомнить, какой уже приобретенный опыт может пригодиться в решении, четвертый — вернуться к условиям и начать решать задачку. На все это надо время. Для простой задачи — 1- 2 минуты. Естественно, для более сложной задачи времени надо больше. 

В каждом классе есть медлительные дети, которым будет этого времени мало. Как быть с ними?

Виктор Гуружапов: Есть много психолого-педагогических хитростей. Например, учитель может обсудить с учениками условия задачи, спросить, решали ли они раньше похожую задачу, и тому подобное. За это время медлительный ученик успеет подумать. Другое дело, что не всегда педагоги этим пользуются. До сих пор сильна привычка «гнать программу». Есть интересный иностранный опыт. Учителям в таких случаях дается несколько советов: принимайте любые ответы учеников, правильные или неправильные; не давайте никаких комментариев в процессе наблюдения за учениками; не прерывайте работу учащихся, чтобы исправить их ошибки. Главная задача педагога — собрать как можно больше информации, какие именно ошибки, в каком контексте допускает ученик. А уже потом корректировать их. И у нас хорошие учителя постоянно накапливают подобный методический арсенал. Но надо превратить это в профессиональное требование для каждого учителя. Надо не забывать, что есть определенный алгоритм решения задачи. 

На ЕГЭ такой алгоритм поможет решить задачку?

Виктор Гуружапов: Да. Для успешной сдачи ЕГЭ важны не только прочные математические знания и умения, но и методическая подготовка и ее психологический аспект. Иногда ученики, которые неплохо знают математику и хотят получить высокий балл, сразу приступают к заданиям повышенной сложности и застревают в них. А действовать надо иначе. Сначала стоит просмотреть все задачи, понять, что сможешь сделать легко и быстро, решить эти задачи, а потом уже приступать к заданиям, которые требуют повышенного внимания. Также надо привыкать к задачам, предъявляемым в тестовой форме. Кроме того, есть определенные индивидуально-психологические особенности самоорганизации деятельности. Здесь уже нужна помощь опытного педагога или педагога-психолога.

Между тем

Как работают с неуспевающими за границей

В Португалии, например, хронически неуспевающим ученикам, которые рискуют не сдать государственный экзамен (это в 4 и 6 классах), назначают дополнительные занятия и проводят пробные экзамены. Еще там группируются временные классы, куда собирают детей с одинаковым уровнем подготовки: учителю проще подтягивать детей с одинаковым уровнем подготовки. Бельгия дает гранты школам, где много неблагополучных учеников, учителя получают доплаты за дополнительные занятия с ними. Во Франции неуспевающим подросткам могут предложить помощь врача и социального педагога. В Великобритании есть практика, когда за государственный счет оплачивается индивидуальная помощь психолога. Там эта услуга дорогая. Поэтому специальная комиссия определяет, действительно ли ученик нуждается в такой помощи. Это хороший пример взаимодействия психолого-педагогического сообщества и органов управления образованием.

эффективные способы обучения, необходимые навыки и умения

Большинство людей думает, что они весьма недостаточно владеют знаниями в области математики, и переживают, что им никогда не удастся достичь успехов в этой сфере. Неоднократное изучение этого вопроса говорит о том, что для того, чтобы хорошо знать эту науку, не обязательно иметь врожденный талант. Для тех, кто решил стать математиком, достаточно упорно и регулярно заниматься.

Изучение математики

Любую науку, в том числе и математику, каждый человек может освоить самостоятельно, особенно если в памяти остались знания со школьной скамьи. Можно стать математиком в 20, 30 и 40 лет, главное — придерживаться некоторых правил:

1. Грамотно составить план. За короткий срок математику познать в совершенстве невозможно. Подобрав конкретную тему, необходимо составить определенный план, по которому будет проходить обучение.
2. Писать конспекты. Данный метод поможет лучше освоить материал и запомнить главные моменты.
3. Не отказываться от консультаций с людьми, которые отлично знают математику. Это поможет в работе над собственными ошибками.
4. Изучать материал внимательно, несколько раз перечитывая и повторяя.

Математика — довольно сложная наука, которую не всем дано быстро освоить. Только при желании активно изучать предмет можно приобрести соответствующие навыки и умения, достичь новых высот.

Таким образом, для того чтобы стать хорошим математиком, необходимо как можно чаще применять науку на практике, учиться логически рассуждать.

Необходимые навыки и умения

Для того чтобы стать математиком, необходимо иметь соответствующие умения и навыки. Каждый человек имеет возможность повышать уровень своих знаний, благодаря трудолюбию и усидчивости.

Как стать математиком самостоятельно? Нужно заниматься каждый день по несколько часов до тех пор, пока знания не начнут усваиваться. В случае необходимости можно обратиться за помощью к опытным специалистам. Педагог, который хорошо ориентируется в арифметике, поможет новичку на начальном этапе обучения науке. Кроме того, необходимо иметь здоровое отношение к математике. Некоторые полагают, что выбрав эту область науки, они недостаточно владеют знаниями. Но это не так, ведь каждый человек имеет возможность самосовершенствоваться.

Методы обучения

Существует множество методов исследования особенностей высшей математики, которые необходимы тем, кто занимается изучением данной науки самостоятельно. Многие люди задумывался над тем, как стать математиком без посторонней помощи.

Основные способы, помогающие изучать математику и другие науки, заключаются в следующем:

• уметь правильно формировать свои мысли;
• иметь необходимую мотивацию;
• читать полезную информацию;
• пользоваться тематическими справочниками;
• заниматься решением задач;
• находить время для отдыха, делать разминку.

Человеку, который хочет стать математиком, необходимо пребывать в постоянном мыслительном процессе. Найти новые идеи и решения можно с помощью видеороликов, которых в интернете большое количество.

Уверенность в себе

Несмотря на то, что у большинства людей нет опыта в том, как стать математиком, именно нерешительность чаще всего является причиной, препятствующей освоению науки и приобретению соответствующих навыков. Практика показывает, что осознание человеком уровня своих умственных способностей положительно влияет на развитие обучения. Это значит, что, прежде всего, необходимо поверить в себя. Научиться можно абсолютно всему, если выбрать правильную мотивацию.

Не стоит беспокоиться по поводу того, если сразу не удается освоить какую-то теорию в математике. Есть подтверждение тому, что умственная деятельность человека формируется, даже если он допускает в работе какие-то определенные ошибки. Также не должно быть волнений, что есть люди, которые знают намного больше об этой науке. Проблема лишь в опыте и уровне интеллекта.

В настоящее время существует большой выбор литературы, повествующей о том, можно ли стать математиком и что для этого нужно делать.

Решение задач

Математика считается последовательной наукой. Некоторые думают, что для этого необходимо удерживать в голове все формулы и теоремы, однако данный метод не является продуктивным. Основной материал нужно понимать, а не заучивать. Для эффективного обучения нужно решать задачи, записывая последовательность своих действий. В случае, если возникают сложности, нужно отложить процесс на некоторое время и приступить к решению позже. К задаче нужно возвращаться до тех пор, пока не найдется нужный ответ. Если возникает чувство, что ситуация безвыходная, не стоит пренебрегать помощью тех людей, которые являются специалистами и знают множество способов, как стать математиком.

Приступая к решению той или иной задачи, необходимо понимать, что сильное переутомление или стресс могут негативно отразиться на ее выполнении. Поэтому нужно находить время для отдыха, чтобы в дальнейшем можно было полностью сосредоточиться на задании.

Что нужно, чтобы стать математиком

Чтобы в совершенстве знать математику, необходимо постоянно добиваться лучших результатов. Существуют методы, освоив которые, можно стать как репетитором по математике, так и профессиональным педагогом.

Уровни, через которые необходимо пройти новичку:

1. Легкий. На этом уровне люди могут решать задачи, согласно образцу, и способны рассказать материал так, как он был изложен в книге.
2. Продвинутый. Человек, который занимается изучением математики на этом уровне, может без помощи других не только освоить и пересказать теорию, но и решить более сложные задачи.
3. Творческий. Уровень, когда начинающий математик не нуждается в том, чтобы помнить наизусть все аксиомы и правила, так как он при необходимости может самостоятельно вывести ту или иную формулу, составить пример или уравнение.

Данные уровни будут эффективны только при совмещении с практикой. Для того чтобы как можно лучше разбираться в темах, нужно решать большое количество задач, как простых, так и более сложных. От того, насколько углубленно человек будет осваивать теорию, зависит, сможет ли он стать учителем математики, как многие известные педагоги.

Как научиться мыслить аналитически?

Благодаря аналитическому мышлению человек способен рассуждать логически, обобщать информацию. Особенности такого процесса выражаются в том, что человек довольно тщательно исследует каждый вопрос, изучает ситуацию, в то же время делает анализ, обдумывая все преимущества и недостатки.

Если человек хочет, но не знает, как стать умным математиком, важно понимать, что для этого мало хорошо знать одну только математику. В данной ситуации нужно уметь ориентироваться в других сферах, таких как программирование, экономика. Только так можно научиться мыслить аналитически.

Таким образом, быть хорошим аналитиком может каждый человек, который стремится достичь успехов в жизни, иметь положительные результаты в профессиональной сфере.

Как стать учителем математики?

Для того чтобы обучать людей такой замечательной науке, как математика, одних знаний недостаточно. Прежде всего, нужно с любовью относиться к данному предмету, получать радость от процесса обучения других людей и с уважением относиться к учащимся. А также быть более требовательным к самому себе, объективным, проявлять сдержанность и терпение. Эти свойства эффективны не только в математике, но и в каждой науке.

Педагог обязан не только учить, но и принимать непосредственное участие в обучении вместе со своими учениками. Например, стоит попробовать на глазах у всего класса решить задачу с неизвестным ответом. Это лишь вызовет уважение и признательность со стороны учащихся. Необходимо понимать, что профессиональный математик — это человек, который способен понимать, а не приводить в пример заранее выученные правила и формулы.

Таким образом, для того, чтобы стать учителем математики, нужно трудиться с максимальной самоотдачей, стремиться к тому, чтобы работа приносила радость, а не являлась средством существования.

Отношение к математике

Одной из причин, по которой у людей могут возникнуть трудности в изучении математики, является несерьезное отношение к науке. Ошибаются те, кто считает, что в отсутствии математических знаний нет ничего плохого. Каждый человек способен решать задачи, если будет осваивать предмет, а не игнорировать его. Знание математики и ее основных аспектов может пригодиться во многих сферах жизни. Перед тем как приступить к изучению данной науки, нужно изначально выбрать правильную мотивацию. Практика считается одним из наиболее эффективных методов для совершенствования своих математических способностей с целью их дальнейшего применения. Главное — не переставать изучать математику и при необходимости обращаться за помощью. Целеустремленность, трудолюбие и настойчивость помогут достичь высокого уровня в обучении.

При неправильном отношении к науке есть вероятность познать разочарование. В случае, если человек не уверен в себе и думает, что ему никогда не удастся освоить этот предмет, при первых же трудностях он, правда, может столкнуться с такой проблемой. Поэтому стоить мыслить позитивно, так как положительное отношение к математике способствует сохранению мотивации и достижению поставленной цели.

«Математическое образование заставляет людей думать по-другому»

Почему математики в отличие от биологов и физиков все еще могут понимать друг друга? Какие области науки сегодня выглядят наиболее перспективно и почему великие физики начала века не сделали бы своих открытий, родись они на сто лет позже? Об этом рассказал член оргкомитета МКМ-2022 математик Федор Богомолов.

Федор Алексеевич Богомолов — один из наиболее известных российско-американских математиков, профессор Института Куранта Нью-Йоркского университета, доктор физико-математических наук. В 1970 году окончил мехмат МГУ. Первая статья была посвящена топологии. В начале 1970-х годов начинает исследования в области алгебраической геометрии. После защиты диссертации поступил в отдел алгебры МИАН. В 1994 году эмигрировал в США. В 2000-х годах стал признанным лидером мировой алгебраической и арифметической геометрии. Его работы лежат в основе современной алгебраической геометрии и ее пересечений с теоретической физикой (теорией струн). Имя ученого носят теорема Богомолова о разложении и форма Бовиля—Богомолова. С 2010 года — научный руководитель лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений Высшей школы экономики в Москве. Главный редактор European Journal of Mathematics, автор более ста работ по математике.

— Федор Алексеевич, Международный конгресс математиков привлекает к себе довольно много внимания по сравнению с обычными научными конференциями. В чем его принципиальное отличие?

— Математика остается одной из немногих областей классической науки, где до сих пор возможно проведение конгресса, который охватывает все основные направления. Так получилось, что именно математики, работающие в разных областях, все еще могут понимать друг друга. Это результат работы нескольких поколений ученых, которые создали некий общий базис, общую терминологию. То есть помимо того, что математики решали какие-то задачи и продвигали науку вперед, они занимались довольно неблагодарной работой по упрощению предыдущих результатов. Конечно, и в математике проходит процесс размывания, но общий стержень все-таки остается. В других науках, где люди концентрируется каждый на своем направлении, это общее понимание уже утеряно. Вряд ли такой конгресс можно провести по теоретической физике или особенно по медицине или биологии. Меня поразил рассказ моего знакомого биолога, который сказал, что если решит использовать константы своих коллег из смежной области исследований, то у него человек будет весить две тонны.

— За какое время до начала конгресса начинает собираться оргкомитет?

— Мы начали собираться примерно семь-восемь лет назад. Дело в том, что сама подача заявки на конгресс требует большой работы и всегда связана с некоторой конкуренцией. Санкт-Петербургу пришлось серьезно бороться за проведение МКМ с французами. Помимо математического сообщества Петербург был интересен по многим параметрам. Это наиболее европейский город России, большой культурный и математический центр, который хотели бы посетить многие ученые.

В целом же за последнее время структура конгресса во многом поменялась. Он оброс большим количеством сателлитных конференций, которые организуют локальные инициативные группы. Сейчас у нас около 40 с чем-то таких мероприятий и в России, и в некоторых соседних странах. Но и изначальная идея никуда не делась: продемонстрировать основные достижения и сформулировать самые интересные проблемы на будущее.

–– Обычно это острые дискуссии? Или, наоборот, особых споров по поводу того, что было самое главное за четыре года, не возникает?

–– Дискуссии в пленарном комитете всегда разные, бывают очень острые, но в целом крупные достижения разногласий не вызывают. В каждой области можно выделить последние достижения и под это подстроить набор приглашенных докладчиков.

— Можно выделить области, где эти достижения за последние четыре года бесспорны? Какая область математики сейчас находится на подъеме?

–– Для меня это, конечно, алгебраическая геометрия и теория трехмерных многообразий, теория чисел. На мой взгляд, были сделаны очень серьезные продвижения в теории вероятности и ее различных применений. Там действительно произошел очень серьезный прогресс. Кроме этого, были большие продвижения в теории графов и бесконечных групп. Но это только те области, за продвижением которых я следил.

–– Говорят, что конгресс 1966 года дал колоссальный импульс советской математике. Какие области после этого стали развиваться, может быть, более активно?

–– Это довольно сложно сказать, потому что тогда я был студентом. Но в целом очевидно, что тогда начали активно развиваться топология, алгебраическая геометрия и теория чисел. Кроме того, существенно усилились контакты с западными учеными.

–– Вы были волонтером на МКМ в Москве, что запомнилось больше всего? Кто на вас произвел наибольшее впечатление?

–– Конечно, я ходил на пленарные доклады, мы помогали иностранцам в разных мелочах, но больше всего мне запомнилось именно неформальное общение и удивительный дух, царивший на МКМ. Тогда я учился на третьем курсе, увлекся топологией и встретил там Джона Милнора (один из шести математиков, которые получили премию Филдса, Вольфа и Абеля, последнюю с формулировкой «За гениальные и очень оригинальные открытия в области геометрии, открывшие важные новые перспективы в топологии с алгебраической, комбинаторной и дифференциальной точек зрения»). Тогда он был еще очень молодым и при этом одним из самых выдающихся ученых, который сделал настоящий прорыв в топологии.

— Какие конгрессы с тех пор вам запомнились особо?

— Мне, конечно, очень запомнился конгресс 1978 года в Хельсинки, где я был докладчиком. Тогда я много общался с европейскими, японскими и американскими математиками. Кроме того, туда приехало много знакомых, которые перед этим эмигрировали, и это, по сути, была первая встреча и смычка советских математиков с теми, кто покинул СССР. Было очень интересно послушать их впечатление.

Мыслить по-иному

— В Питер приедет около 5 тыс. математиков из десятков стран. Насколько актуален сегодня разговор о математических школах, которые когда-то ассоциировались с национальными границами — российская школа, французская?

— Математический язык, конечно, единый, но все-таки думают люди при этом немножко по-разному. Есть отличие в восприятии различных понятий. Причем, это зависит даже не от национальности ученого, а скорее как раз от его принадлежности к той или иной математической школе. Например, у меня есть знакомые из бывшего СССР, которые затем прошли школу во Франции, и очень интересно наблюдать, как они по-другому соображают, расставляют другие акценты.

— В чем это отличие?

— Я вышел из математических кружков 1960-х годов. Это такой мини-вариант греческой академии, где было много встреч, разговоров, идей и их обсуждений. Это очень вербальная история. Авторитет человека базировался на том, мог ли он произвести какую-то интересную рабочую идею или соображение по поводу обсуждаемой проблемы. При этом локальным лидером кружка или научной группы мог стать совсем молодой ученый, которому это старшинство вроде бы совершенно не по рангу. Например, я помню кружок, где лидером был семиклассник! И он действительно очень хорошо соображал.

— Интересно, что с ним стало потом?

— Он вырос и стал очень хорошим математиком. Так что в моей математической среде была особая демократичность. Это не значило, что каждый мог говорить все, что угодно, но если ты говорил что-то толковое, то тебя начинали слушать все, невзирая на ранги. Ну и могли точно так же довольно резко тебя осадить. То есть главным была концентрация на обсуждении интересных работающих идей, которые могли решить ту или иную проблему.

— А французская школа чем отличается?

— Мне она показалась более формальной. Понимаете, на Западе для меня вообще самое трудное — это заставить человека говорить то, что он реально думает по поводу задачи или даже по любому поводу, вызвать на серьезное обсуждение, на зыбкую почву гипотез, на уровень идей, где происходит самое интересное. Здесь иногда человек боится сделать ошибку, боится сказать слишком много и поэтому дает банальные ответы. Меня это поражало с самого начала. Почти невозможно представить себе какой-то спор, в котором можно было бы столкнуть крайние позиции. Хотя, с моей точки зрения, такие споры и есть самое полезное.

Ведь иногда для того, чтобы выразить яркую мысль, приходится ее немножко заострить, так что она, может быть, станет в деталях неверной, но по существу будет лучше передавать смысл. Такого подхода я почти нигде не встречал за пределами России. Хотя с отдельными людьми он возможен, например, всегда очень хорошо разговаривать с Дэвидом Мамфордом — с ним как раз такие диалоги очень плодотворны.

— Продолжая параллель с античностью, можно сказать, что, по сути, это платоновские диалоги с целью выяснить истину. В Институте теоретической физики семинары могли длиться по 12 часов кряду. Это совершенно изумляло иностранных коллег.

— Конечно, семинар — это всегда диалог. В современной культуре эта традиция исчезает, считается невежливым спросить, уточнить, поспорить. Хотя сейчас, по-моему, с этим становится немного получше.

— Интересно, сколько русскоязычных математиков сейчас в мировом сообществе?

— Скажем так, сегодня нет таких университетов, где бы их не было. Поэтому вопрос здесь не в процентах. Зачастую русскоязычные математики наиболее активное творческое ядро.

— С чем это связано?

— Дело не столько в самих людях или в их национальностях. Дело в системе образования, которая была разработана в СССР и в восточноевропейских странах. У нас человек шел в математику потому, что у него было к этому призвание, она была ему интересна. Туда попадали люди, собранные со всей страны, которые действительно хотели заниматься этой наукой всю жизнь. Масса людей уходила с мехмата в прикладные институты и другие места, но они продолжали интересоваться тем, что происходит в математике. В 1990-е годы, когда наука развалилась, многие вообще ушли на заработки непонятно куда, но продолжали посещать семинары, потому что для них это важно и ценно.

На Западе изначально меня поразило то, что в математике много людей, которые пришли сюда просто потому, что им хотелось стабильной профессорской зарплаты и гарантированной пенсии. Человек учился, достигал хорошего уровня и на этом останавливался. Из таких людей создать активную творческую среду чрезвычайно сложно. Хотя как-то это работает.

— Можно ли, на ваш взгляд, возродить подобную систему образования? Или поменялась не только система, но и люди?

— В 1990-х годах эта система начала распространяться по миру вместе с советскими эмигрантами, которые всюду насадили ее ростки. Но что будет дальше — сказать трудно. Потому что мы находимся в таком турбулентном режиме, где все меняется. Современные студенты совсем другие. Многие уверены, что можно чего-то не знать, потому что все можно найти в интернете. Когда мы учились, главная идея была в том, чтобы не просто получить результат, но и полностью понимать, почему так происходит, то есть внутренние фундаментальные законы. Если какие-то числа оказываются равны, хорошо бы понимать, почему так получилось. Сегодня студенту это объяснить сложно, потому что он может сразу все вычислить точно и это очень много меняет. Поэтому сегодня, например, Майкельсон не мог бы открыть, что скорость света постоянна.

— Почему?

— Потому что сегодня существуют слишком точные измерения. И теперь мы знаем, что скорость света в воздухе и в других средах отличается, что гравитация искривляет пространство и т. д.

Когда появились быстродействующие компьютеры с огромной памятью, знание многих физических законов оказалось необязательным для многих конкретных вычислений. Теперь можно заложить в компьютер ряд данных и получить ответ, применяя правильную модель и не задаваясь вопросом, на основе чего был получен такой результат. Математика как таковая оказалась ненужной, потому что все можно вычислить точно. Этого достаточно для чисто прикладных вещей, но для развития соответствующей математики это тупик.

Один знаменитый математик говорил, что главное во всей истории образования для математика — формирование мышления. Классическое математическое образование заставляет людей думать по-другому, у них другой подход к решению задач.

— Интересно, почему сегодня не происходит этого ухода на глубину.

— Потому что на поверхностном уровне в этом нет необходимости. Во время локдауна в Нью-Йорке мы долгое время обучали по Zoom. Ты даешь задание, понимая, что студент может все решения найти в интернете. Остается только надеяться, что остались те, кому интересно это решить самому, пройти некий путь. И именно это основа глубокого понимания.

Если таких людей не будет, то, по-моему, человечество очень быстро потеряет в качестве. Я это вижу постоянно. За границей я впервые столкнулся с тем, что кассир в магазине на десять умножает на калькуляторе. Про таблицу умножения я вообще молчу. География тоже перестает быть наукой: люди просто не понимают, где север, а где юг, и я часто вижу, как люди со смартфоном в руках включают карту и идут ровно в противоположном направлении, потому что в принципе не представляют, как ориентироваться в пространстве. В целом, на мой взгляд, эта античеловечная тенденция ведет к деградации. А чем меньше человек думает, тем проще живется бюрократии, выстраивающей отслеживающие системы и т. д. Уже сегодня мы заполняем кучу ненужных документов, отвечаем на массу вопросов просто для того, чтобы просто выйти из дома. Лично я делаю это каждый раз, чтобы попасть в университет. Поставишь галочку не там — и проблемы тебе обеспечены. Зачем собирается эта информация и что с этим будут делать — большой вопрос. Боюсь, что все это не пропадет с окончанием пандемии и система будет зажимать нас все больше. Что и было продемонстрировано в течение последних месяцев.

— Все-таки классическое образование должно давать какую-то прививку от расчеловечивания.

— Да, но в последнее время меня тревожит еще одна тенденция — уход хороших студентов в финансовую сферу. Они собирают команды из ведущих ученых, включая не только математиков, но и физиков-теоретиков, статистиков, экономистов, и создают механизмы, позволяющее им накачивать деньги. Это, по сути, уже не бизнес, а просто грабеж, причем очень выгодный. Они начинают зарабатывать в десятки раз больше, чем в науке, и поэтому для многих это очень соблазнительно.

— Можно сказать, что это новое явление?

— В каком-то смысле, но это похоже на классическое пиратство. В Средние века всегда было гораздо выгоднее кого-то грабить, чем честно работать матросом на военном или купеческом корабле. Конечно, не всегда это сходит с рук. Но пиратский бизнес все равно утягивает очень многих.

Посчитать деньги

— Если продолжить говорить о финансах, можно ли сказать, насколько охотно сегодня математикам дают гранты? Можно ли вообще получить грант под фундаментальную задачу?

— По моему опыту участия в работе соответствующих панелей в основном работает очень простой и не очень хороший принцип: деньги дают тем, у кого они есть. Грубо говоря, большие гранты получают люди, которые уже привыкли их получать. Все скатывается к главенствованию отдельных сплоченных групп. В математике образуются центры силы, которые притягивают на свою орбиту большое количество молодых ученых, создают своеобразные популяции молодежи, которая занимается определенной темой. Конечно, система пытается с этим бороться, но это очень трудно.

— В вашей области математики тоже происходит нечто похожее?

— В алгебраической геометрии силы концентрируются в нескольких направлениях. Некоторые из них, с моей точки зрения, интересны, а некоторые совсем нет. Но тут работает принцип наследственности: профессор, который занимается какой-то областью, часто старается привлечь своих учеников в эту область, порождая такое самоподдерживающееся дерево. Это отчасти даже хорошо, но все-таки не очень. Мне кажется, это не совсем верный подход. Так как я всегда занимался разными вещами и даже разными областями, то старался скорее подстроиться под вкусы аспиранта, чтобы на выходе получалась разная математика.

— Где сейчас, на ваш взгляд, работают самые яркие математические центры?

— Сейчас существуют заметные исследовательские центры во многих странах мира, которые, как правило, создавались под каких-то ярких представителей. Также имеются и такие классические центры, как Оксфорд, Кембридж, Париж, Бонн, Пиза, Тата-институт в Индии, Киото, Цинхуа и Гонконг в Китае и даже Сидней. Это все центры вне США. В Штатах же существует ряд известных университетов и центров: Беркли, Принстон и т. д. Я помню, как в 1981 году посетил Гарвард и МIT и застал там компанию ярких математиков. Там работали Джон Тейт, Дэвид Мамфорд, Рауль Ботт, Барри Мазур и другие. Я со всеми ними очень много общался, у кого-то жил, и это было очень продуктивное время. В 1989 году, во время поездки большой группы геометров в Чикаго, мы познакомились с яркой группой ученых, которые работали в ближайших университетах.

Один известный математик как-то сказал, что вся сила США — это 50 университетов самого высокого уровня, где сосредоточены прорывные исследования, и в каждом штате есть хотя бы один такой университет. Особенность США в том, что если где-то что-то вырождается, то в другом месте обязательно появляется что-то новое. В советское время это называлось «жизнь в джунглях»: на том, что сгнивает, тут же вырастают десять деревьев. Это позволяет стране постоянно поддерживать концентрированную высокопрофессиональную научную среду.

В последние десятилетия большую роль в поддержке науки сыграл такой человек, как Джеймс Саймонс. Он сам был математиком, но при этом заработал на бирже многомиллиардное состояние и очень грамотно организовал систематическую поддержку разных направлений науки. Его вклад по масштабу сравним с вкладом американских правительственных организаций.

— Financial Times назвала его самым умным из миллиардеров. В России пока с этим как-то не очень.

— Но в некоторых местах начинают появляться живые силы и без больших денежных вливаний. Москва остается крупным математическим центром за счет нового поколения математиков. Например, появился факультет математики в Высшей школе экономики. Его развитию способствует активное участие профессоров в работе со студентами, в организации научных семинаров разного уровня. На самом деле очень многое зависит от людей на местах.

Задачи тысячелетия и не только

— Федор Алексеевич, какая проблема в математике, на ваш взгляд, сейчас самая интересная? И какие задачи из «списка тысячелетия» Клэя будут решены в первую очередь?

— Математика очень большая. В разных областях существует масса интересных проблем, которые часто не так-то просто описать для неспециалистов.

Мне очень интересно, что недавно было опубликовано доказательство гипотезы Шпиро в теории чисел. Я тоже этим немножко занимаюсь. Это была проблема в теории чисел, очень глубокое обобщение того, что всем известно, как теорема Ферма — частный случай гипотезы. Самое интересное, что здесь неожиданным образом доказательство формулируется на очень простом языке, понятным любому человеку, знакомому с арифметикой. А само доказательство требует довольно глубокого понимания геометрических объектов. Доказательство написал Синъити Мотидзуки, кто-то считает, что оно правильное, а кто-то из ученых сомневается. И мне хотелось бы, чтобы это как-то разрешилось.

— Наверное, не так много людей в мире, кто сможет найти ошибки в этом 500-страничном труде.

— Да, и в этом большая проблема. Доказательство, которое он дал, изначально довольно сложное, и его трудно проверить. Я очень надеюсь, что в скором времени появится какой-то вариант, который будет более доступным для остальных.

Также на меня произвели большое впечатление результаты по гипотезе Терстена про поведение трехмерных многообразий. Отметим при этом, что в размерностях больше чем три все обстоит совсем по-другому, а размерность четыре по многим параметрам оказалась исключительной.

Сам список проблем Клэя мне как-то не очень интересен. Это в основном старые классические проблемы, для решения которых не видно реального подхода к решению. Так что у меня есть свои задачи, которые я считаю интересными.

— Давайте опубликуем список Богомолова?

— Это довольно большой список, и сейчас мы прорабатываем его с моим студентом. Не думаю, что он будет интересен всем, ведь у каждого математика со временем накапливается довольно большой перечень задач, которые он хотел бы разрешить.

Беседовала Елена Кудрявцева

Как стать умнее в математике. Я всегда плохо разбирался в математике. Или я… | Ник Сараев

Я всегда плохо разбирался в математике. По крайней мере, я так думал… пока не узнал об этом.

Если вы похожи на меня, вам всегда было сложно с математикой. Начальная школа, старшая школа, колледж — когда приходило время уроки математики, мне всегда хотелось свернуться калачиком и умереть.

Большинство людей, включая меня, думают, что математика — это всего лишь сложный . Что по своей сути это сложнее, чем другие предметы, а математические знания доступны только самым способным и увлеченным из нас.Я тоже так думал до последнего года обучения в университете.

В школе усложняется математика

Время для рассказов: в школе я всегда отличался. Я изучил поведенческую нейробиологию, исторически сложный предмет, и в течение четырех лет последовательно подавлял его со средним баллом. Физика, химия, анатомия, физиология — все это было несложно, поэтому я всегда считал себя умным и способным. До моего последнего года обучения, когда мой научный руководитель сказал мне, что мне нужно пройти первый курс математики, чтобы получить высшее образование.

Я уже почувствовал приближение паники. Я ненавидел математику и делал все, что было в моих силах, чтобы избежать ее, как чумы, последние полвека. Как оно могло меня догнать ?! Оглядываясь назад… наверное, поэтому я с самого начала оказался в таком положении. В то время я не видел иронии.

В конце концов, я вышел из своего шара смерти и записался, полагая, что на этот раз все было по-другому — что я был мудрым, умным старшим, и такой класс был страшен, только если ты был прыщавым восемнадцатилетним. Старый.

Правый . Математика уничтожила меня. Снова. Я учился днем ​​и ночью безрезультатно, и я с трудом получил оценку «C», которая была минимальной оценкой, необходимой для продолжения моей программы. Хуже всего было то, что этот единственный урок математики стоил мне звания с отличием, что для меня было практически основой моей жизни в то время.

Неинтуитивный ответ

Сразу после получения оценок я был ошеломлен. Как я мог так плохо поступить? Понятно, что я хорошо учился на других курсах, так почему же я был таким плохим в математике? Я просто тупой? Эти и другие мысли крутились у меня в голове, когда у меня внезапно, вероятно, возникла моя первая по-настоящему отличная идея за пять лет: почему бы не спросить прыщавых восемнадцатилетних, которые вышли оттуда с пятеркой?

Я их и спросил.И их ответы поразили меня.

Почти каждый студент, с которым я разговаривал, говорил мне что-то вроде этого:

«Я никогда не читал учебник, чувак. Эти старые учебники взорваны. Я просто пользуюсь Интернетом ».

Для студента, который (в то время) относился ко всем своим учебникам как к Библии, это было новостью. До этого момента я всегда думал, что лучший ресурс для работы с классом будет предоставлен самим классом. Это имело логический смысл — экзаменационный материал был основан на чтении, которое было основано на учебнике… не так ли?

Неправильно.Сразу после окончания учебы я встал на путь самопознания. Я хотел понять причину того, почему я отстой так сильно, как и делал, поэтому я взял за правило почти каждую ночь проводить время, развивая свое понимание математики. Теперь я выучил больше математики вне класса, чем в классе.

Как стать умнее в математике

За последний год обучения я обнаружил, что математика отличается от . Математика — это не набор разрозненных фактов, которые нужно запоминать, как в анатомии или физиологии.И это не серия уравнений, которые нужно отрыгивать, как в химии или физике.

Математика — это способ мышления.

Это способ решения проблем. Из концептуализации отношений между числами и понимания , почему вещей меняют , а не только , которые они меняют .

Математика — это не обязательно умных (, хотя более умные люди делают , как правило, лучше в этом). Речь идет о том, чтобы смотреть на каждую проблему снизу вверх — без предварительных предположений и предубеждений.И по мере того, как вы работаете над решением каждой проблемы, вы заново строите свое понимание Вселенной.

Школа пытается научить вас этому сверху вниз. Вы изучаете формулу, затем узнаете, как ее применять, но никогда не узнаете , почему она вообще существует. Выводы заучиваются наизусть, а не понимаются. Это очень важно для понимания красоты математики, но в большинстве случаев академические круги полностью игнорируют это.

Я боролся с математикой, потому что всегда воспринимал слова моих сильно устаревших учебников как евангелие.Но это Евангелие сбивало меня с пути. Недостаточно рассматривать математические концепции как простые факты для запоминания — вы должны усвоить причину их существования и необходимость, которая подтолкнула их к открытию.

Школа никогда этому не научит. Не потому, что они злые, или потому, что они не хотят, чтобы вы добились успеха, а потому, что изучение математики таким способом просто не экономично в масштабе. Государственное образование скорее будет обслуживать наименьший общий знаменатель, чем возвышать избранных, и это понятно, учитывая их ответственность перед обществом.

Лучшие книги по математике для чтения

Если вы действительно хотите этому научиться, вы должны выйти за пределы академических кругов. Мой путь к тому, чтобы стать умнее в математике, включал в себя следующие ресурсы по порядку (некоторые из них изменили не только мои математические навыки, но и мою жизнь ) :

Примечание: вы будете , а не , станете математическим гением, читая эти книги . Если это ваша цель, то после того, как вы закончите Calculus by Strang, вам неизбежно придется погрузиться в более плотный и менее понятный материал.Но даже если вы дочитаете книги из этого списка, а не других, вы оставите математику с глубоким и твердым пониманием фундаментальных математических принципов — принципов, которые подавляющее большинство людей никогда не поймет за всю свою жизнь.

Примечание — чтение этих книг по очереди и полное их понимание, вероятно, займет некоторое время. Лично у меня на это ушло около девяти месяцев. В среднем я тратил только двадцать минут за ночь, но часто они были лучшими двадцатью минутами моего дня.Возможность уединиться в уютном уголке своей комнаты и наполнить свой мозг красивыми числами — теперь одно из моих любимых занятий.

Математика — это непросто, но можно понять . Мы просто заблуждались относительно того, как туда добраться. Вы не начинаете сверху вниз — вы начинаете снизу вверх и строите свое понимание строка за строкой, страница за страницей.

Если вы нашли эту статью полезной, я призываю вас аплодировать и делиться! Больше людей должны наслаждаться красотой математики, и подобные статьи — один из способов распространить информацию!

Как стать умнее в математике

… Jupiterimages / Photos.com / Getty Images

Исследования давно показали, что анатомия мозга может иметь какое-то отношение к тому, насколько умны люди в математике. Но это не означает, что человек, у которого МРТ показывает, что его мозг хуже, чем у кого-то с «идеальным математическим мозгом», не может улучшить свой ум, и не означает, что человеку с лучшим изображением мозга не нужно учиться или улучшать. Независимо от вашего уровня математических навыков, вы всегда можете сделать что-то, чтобы стать умнее в математике.

1 Совершенствуйте навыки аппроксимации

Ваша способность аппроксимировать или распознавать что-либо похожее, но не полностью совпадающее с чем-то другим, поможет вам стать умнее в математике. Согласно MIT News, для аппроксимации требуются пространственные инструменты, такие как мысленные числовые линии, отвечающие за восприятие чисел. «MIT News» утверждает, что это, возможно, «самый важный источник математической интуиции». Улучшение ваших способностей к приближению сделает вас умнее в математике.Вы можете узнать у продавцов учебных книг или в учебных центрах, какие дополнительные материалы могут помочь вам улучшить свои навыки приближения.

2 Пополните свой словарный запас

Математика — это не только числа и символы; он имеет особый словарный запас, имеющий отношение к науке и жизненно важный для понимания того, как работает математика. Понимание таких терминов и слов, как аддитивная идентичность, общий множитель, факториал, целое число, число «пи» и вершина, улучшит ваше понимание математики и поможет вам стать умнее в различных областях науки.Флэш-карточки с математическим словарным запасом — отличный способ улучшить свой словарный запас. Их можно приобрести в образовательных магазинах или в учебных центрах, но вы также можете уточнить в своем школьном округе или колледже. Школьный округ Гранит в Солт-Лейк-Сити предоставляет различные онлайн-таблицы для создания флеш-карточек с математическим словарным запасом, подходящих для классов K-12. Если вы учитесь в колледже, проверьте, может ли книжный магазин кампуса заказать для вас такие карточки.

3 Настройте домашнее задание

Неважно, учитесь ли вы в средней школе или колледже, ваши учителя назначают домашнее задание.Домашние задания не просто раздаются, чтобы убедиться, что вы соблюдаете требуемые стандарты и темп обучения, их также можно использовать, чтобы мотивировать вас работать в проблемных областях, чтобы улучшить свои навыки в зависимости от вашего текущего уровня. Национальная ассоциация образования заявляет, что домашние задания обычно делятся на три категории: подготовка, продление или практика. Организация заявляет, что «индивидуализированные задания, которые задействуют существующие навыки или интересы учащихся, могут быть мотивирующими». Некоторым студентам требуется дополнительный толчок к изучению математики, чтобы улучшить математический интеллект.Встретившись со своим учителем и попросив его назначить дополнительные мотивационные упражнения к вашему домашнему заданию, у вас будет больше шансов улучшить свой математический ум.

4 Просмотр оцененных домашних заданий

Не просто взгляните на свое оцениваемое домашнее задание и скомкайте его в шар для трехочкового броска в мусорном ведре. Ваша оцененная домашняя работа является огромным показателем того, на чем вам нужно сосредоточить дополнительное внимание во время учебы. Вы можете стать умнее в математике, отмечая области вашего домашнего задания, которые получают плохие оценки, и посвящать дополнительное время изучению этих областей.Купите файловую систему в любом магазине канцелярских товаров и следите за выполнением домашнего задания. Через несколько недель проверьте свои общие баллы за домашнее задание и используйте свои математические навыки, чтобы определить, каким было ваше начальное среднее значение и где оно находится в настоящее время после нескольких недель сосредоточения внимания на оцениваемых проблемных областях. Научившись прямо на своих ошибках, вы станете умнее в математике.

10 советов по математике

Многим ученикам кажется, что знание математики — это врожденный навык, которому нельзя научиться.Но правда в том, что любой может добиться успеха в математике — им просто нужны правильные стратегии.

Джерри Бродки, доктор философии, преподавал математику более двадцати лет, от алгебры I до математического анализа AP. Со временем он составил список рекомендаций, которые ежегодно обсуждает с родителями на вечере «Снова в школу». Вот десять основных советов Бродки по математике.

1. Сделайте всю домашнюю работу. Никогда не думайте о домашнем задании как о выборе. Это самый важный способ, которым учащиеся практикуют и усваивают концепции, преподаваемые в классе.Установите регулярное время и место, чтобы домашнее задание выполнялось автоматически.
2. Бой, чтобы не пропустить занятие. Класс математики быстро развивается, каждый день преподает новую концепцию. То, что студенты делают сегодня, способствует завтрашнему дню. Математика наказывает прогулы; Чтобы не отставать, учащимся нужно найти время, чтобы вернуться и узнать, что они упустили. Так что, если нужно назначить встречу по желанию, постарайтесь не назначать ее во время математики.
3. Найдите друга для учебы. У всех нас есть причины для законного отсутствия. Так что найдите друга, который будет делать хорошие записи, когда вас не будет, и позвонит вечером, чтобы рассказать вам о домашнем задании. Это хорошая практика для реального мира, где для процветания необходимо построение позитивных отношений. В более продвинутых классах рекомендуется создать учебную группу для отработки тестов.
4. Установите хорошие отношения с учителем. Учителя средней школы насчитывают до 175 учеников, поэтому важно отличаться.В течение первой недели занятий в школе представьтесь. Сообщите своему учителю, что вам интересен его класс, и вы приветствуете возможность учиться. Задавайте вопросы, которые показывают, что вы внимательны. Родители также должны представиться по электронной почте или на вечере «Обратно в школу». Учителя лучше всего отзываются о учениках, которые показывают, что им небезразличен класс.
5. Проанализируйте и поймите каждую ошибку. Наша культура стала ориентированной на совершенство, и возникает соблазн игнорировать наши ошибки.Студенты хотят пропустить ошибку, сделанную в домашнем задании или тесте, просто отпустить ее. Но важно исправить ошибки и понять, почему они были сделаны; иначе мы обречены повторить их. Найдите время, чтобы понять причину ошибки и понять, как ее исправить. Спросите учителя, если вам что-то непонятно. В продвинутых классах может быть полезно написать параграф для размышления о том, почему были сделаны ошибки.
6. Получите помощь как можно скорее. Если ученик осознает, что что-то сложно, ему следует как можно быстрее обратиться за помощью.Учителя очень внимательны к просьбам о дополнительной помощи. Устраняйте недоразумения до того, как они начнут расти как снежный ком.
7. Не проглатывайте вопросы. Вопросы — это средство обучения. Если он у вас есть, спросите. Скорее всего, многие из ваших учеников задают тот же вопрос. Сказать это вслух поможет вам, вашим одноклассникам и учителю. Задавать хорошие вопросы — это навык на всю жизнь, и школа — безопасное место для практики. Чем больше вопросов мы зададим, тем легче будет.Хороший учитель уважит все вопросы. Если вы чувствуете, что учитель смущает вас из-за того, что вы задаете вопрос, поговорите с родителями и попросите их рассказать администрации; это серьезная проблема.
8. Основные навыки необходимы. Быстро: сколько 9 умножить на 7? Чтобы добиться успеха, учащиеся должны уметь правильно ответить на этот вопрос во сне. Таблицы умножения являются основой для большинства математических задач средней школы. Если ваш ребенок их не знает, практикуйтесь! Сделайте карточки, купите компьютерную программу и практикуйтесь, практикуйтесь, практикуйтесь.
9. Алгебра Я должен освоить. Навыки алгебры I имеют решающее значение для последующих курсов математики. Студенты должны овладеть такими навыками, как решение систем уравнений, построение графиков, наклон и упрощение радикалов. Не заставляйте учеников изучать алгебру I, пока их учитель не скажет, что они готовы. И если их оценка по алгебре ниже C, настоятельно рекомендуется повторно пройти курс. Даже в математике большинство задач состоит из одного сложного шага, за которым следуют десять шагов алгебры.
10. Разберитесь, что делает калькулятор.2 ”или 9. Студенты должны поиграть со своими калькуляторами и познакомиться с тем, как они работают.

В современном высокотехнологичном мире уроки математики приобрели новый уровень важности. Советы Бродки могут помочь каждому ученику добиться наилучших результатов на любом уровне математики. Независимо от того, какой колледж или карьеру рассматривает студент, наилучшие результаты по математике увеличат ее возможности на будущее. Наши математические игры и математические ресурсы делают математику более увлекательной, поскольку учащиеся развивают навыки числового восприятия, арифметики, геометрии и многого другого.

Как стать умнее | The Economist

12 августа 2009 г.

от The Economist | NEW YORK

Если вы будете больше заниматься математикой в ​​школе, вы станете богаче, и не только потому, что это поможет вам следить за фондовым рынком. В статье экономиста Джошуа Гудмана измеряется влияние изучения математики на доход. Он обратил внимание на изменения в американских школах после доклада 1983 года «Нация в опасности». Это исследование показало, что американские студенты часто следуют менее строгой программе, чем студенты из других стран.Результатом стали новые требования к математике и чтению.

Мистер Гудман обнаружил, что каждый дополнительный обязательный курс математики увеличивает годовой доход чернокожих мужчин на 15%. (Увеличение количества уроков чтения оказало отрицательное влияние или не повлияло на заработок.) ​​Больше математики также увеличивало вероятность того, что молодые чернокожие мужчины пойдут в университет и когда-нибудь получат работу, требующую количественных навыков. Но ученая степень или лучшая работа дают лишь небольшую часть прироста заработка. Г-н Гудман считает, что повышение заработной платы по большей части отражает повышение производительности труда.

Одна из причин, по которой люди, которые изучают математику больше, зарабатывают больше, заключается в том, что математика делает вас умнее и продуктивнее. По словам Клэнси Блэр, профессора психологии Нью-Йоркского университета, выполнение математических вычислений улучшает рассуждение, навыки решения проблем, поведение и способность к саморегулированию. Эти навыки связаны с префронтальной частью коры головного мозга, которая продолжает развиваться до 30 лет. Решение математических задач улучшает работу вашего мозга, и, по словам мистера Блэра, это может привести к способности зарабатывать больше денег и формировать стабильные отношения.

Любопытно, что мистер Гудман обнаружил, что необходимость в математике не оказала большого влияния на доход чернокожих или белых женщин. Он подозревает, что эти группы уже обладали базовыми математическими навыками, а реформы, которые он изучал, не учитывали более продвинутую математику. Но для многих чернокожих мужчин изучение даже базовой математики могло быть улучшением. Исследование г-на Гудмана предполагает, что для взаимодействия с другими студентами потребуются более строгие требования.

Конечно, найти квалифицированных учителей для преподавания на курсах продвинутой математики будет непросто.Согласно исследованию, опубликованному Education Trust в 2002 году, многие уроки математики в средних и старших классах школы преподают учителя, которые не имеют даже незначительного образования в области математики. Чтобы привлечь квалифицированных учителей математики, им придется платить больше. Это представляет собой проблему не только для напряженных государственных бюджетов, но и для местных профсоюзов учителей, которые часто выступают против рыночной оплаты трудозатратных рабочих мест.

💎 КАК СТАТЬ УМНЫМ В МАТЕМАТИКАХ

Portada »💎 КАК СТАТЬ РАЗУМНЕЕ В МАТЕМАТИКАХ

Можете ли вы представить, каково было бы знать, как решать все математические упражнения, которые вам велели делать в классе?

Как вы уже поняли, изучение математики означает получение хорошей оценки в конце курса и на один предмет меньше, о котором нужно беспокоиться. Если вы знаете, как мотивировать себя изучать математику.

Как стать умнее в математике?

Математика — один из предметов, к которым перед входом в класс многие студенты предрасположены и чувствуют, что не смогут с ней справиться, не осознавая, что они не дают себе возможности открыться, чтобы понять ее.

Если вы чувствуете, что вам очень трудно обратиться за помощью к учителям математики, посвятите необходимое время практике упражнений, мы увидим, как нам представляется успешный результат по математике.

Советы, как стать умнее в математике

С этими советами, которые мы дадим вам, изучение математики станет для вас намного проще, чем сегодня.

Математика применяется во всем, что мы делаем

В мире математики самое важное — это практика, практика и практика, этот метод является наиболее эффективным для получения хороших результатов.

Математика Частные преподаватели могут помочь вам своими знаниями, инструкциями и методами обучения , так что математика станет не проблемой, а решением.

Этот предмет нельзя выучить наизусть, потому что не всегда используют одну и ту же процедуру. Важно выучить основные концепции и формулы, потому что они необходимы. Если вы очень хорошо справитесь с этими двумя вещами, вы их поймете.

Одно из преимуществ математики состоит в том, что она стимулирует наше аналитическое мышление, позволяя нам быть более критичными, иметь способность ясно рассуждать, исследовать и лучше понимать окружающий мир.

Приобретаются методы и навыки, что позволяет нам решать проблемы, возникающие в повседневных мероприятиях, потому что практика этого позволяет нам быть более организованными в ментальном плане, достигая целей в поиске решений повседневных проблем.

Вы также должны применять очень необходимую технику, не только для математики, но и для всего, уверенность в себе, вы должны знать, что если вы правильно подготовились, у вас есть все шансы сдать экзамены и что полученные знания останутся.

Как стать умнее в математике почти не изучая

Прежде всего, вы должны подготовить свой ум, чтобы улучшить свою концентрацию и максимально использовать свое учебное время. В этом смысле еда может вам помочь. Есть некоторые продукты, которые особенно хороши для улучшения вашего обучения, поддержания вашей активности и сосредоточенности или для улучшения связи между вашими нейронами.

С другой стороны, ключ к тому, чтобы не тратить слишком много времени на изучение математики, — это понять все шаги, необходимые для решения упражнений .И вы скажете: Конечно! Это то, что я хочу, но это не так просто! Как это сделать?

Для начала, вы должны прийти в класс и спросить, чего вы не понимаете, когда учитель это объясняет. Не бойтесь спрашивать. Наверняка большинство ваших одноклассников этого не поняли.

Иногда вы не спрашиваете себя, опасаясь смеха, но не разрешив это сомнение, вы больше не поймете ничего, что учитель будет продолжать объяснять, потому что вы будете чувствовать себя потерянным. Если вы не зададите свой вопрос, у вас есть хорошие шансы не сдать следующий тест по математике.

Следующим шагом в изучении математики является выполнение упражнений, которые отправляют вам домой. Бесполезно быть внимательным в классе и задавать вопросы, если позже вы не будете выполнять упражнения, которые вам присылают в классе, дома.

Попытка выполнять упражнения самостоятельно дома позволит вам убедиться, поняли вы это или нет. У вас могут быть новые вопросы или какой-то шаг вам непонятен.

Вы даже можете подумать, что знаете, как решить упражнение, но даже не знаете, с чего начать. В любом случае, вы должны снова задать учителю свои новые вопросы в следующем классе, когда он исправит упражнения на доске. Если вы будете следовать этим простым советам и будете последовательны, ваша оценка по математике взлетит до небес.

Если вы поймете все шаги, необходимые для скремблирования упражнений, вам понадобится меньше времени на изучение, до такой степени, что иногда бывает достаточно небольшого обзора, чтобы сдать тест по математике.

Другие способы стать умнее в математике

Другой способ выучить математику, отличный от онлайн-уроков математики, — это весело провести время. Тренировка ума и активация функций мозга помогают улучшить ваше внимание и концентрацию. Нам необходимо ежедневно тренировать мозг, чтобы таким образом он не старел преждевременно и не создавал когнитивных проблем заранее.

Некоторые эксперты уверяют, что отсутствие практики в математике способствует неграмотности, а также уверяют, что математическая практика дает людям необычайные способности выполнять более быстрые операции, гибкость, творческий подход, побуждая к развитию новых идей, более легкому решению задач и увеличению дедуктивных способностей.

Эта стимуляция, которая превращает занятия математикой в ​​, позволяет нашему мозгу постоянно заниматься спортом и улучшать качество жизни человека, эффективно способствует счастью и будущей продуктивности. Давайте потренируем наш мозг математикой и подарим этот подарок нашей жизни.

Как быть Статьи

Продукты, которые вы найдете в Smart10.top

Некоторые статьи в нашем блоге

Образ того, как стать умнее в математике

Imagen de / Image of Oberholster Venita en / на Pixabay

Sumario

Nombre del artículo

КАК СТАТЬ УМНЫМ В МАТЕМАТИКЕ

Descripción

Чтобы стать умнее в математике, необходимо сочетание повторения, активного изучения и позитивного отношения к математике. предмет.

Автор

Мигель Франко

Сайт в Интернете

Smart10.top

Logo Sitio Web

Есть одно ключевое различие между детьми, которые преуспевают в математике, и теми, у кого нет — Quartz

«Я просто не математик».

Мы слышим это все время. И с нас хватит. Потому что мы считаем, что идея «математиков» — самая разрушительная идея в современной Америке.По правде говоря, вы, вероятно, математик, и, думая иначе, вы, возможно, подрываете свою карьеру. Хуже того, вы можете способствовать увековечиванию пагубного мифа, наносящего вред детям из малообеспеченных семей, — мифа о врожденных генетических математических способностях.

Являются ли математические способности генетическими? Конечно, до некоторой степени . Теренс Тао, известный математик-виртуоз Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, ежегодно публикует десятки статей в ведущих журналах, и исследователи со всего мира ищут его для помощи в самых сложных частях своих теорий.По сути, никто из нас никогда не смог бы быть так хорош в математике, как Теренс Тао, как бы мы ни старались или как хорошо нас учили. Но вот в чем дело: нам не обязательно! Для математики средней школы врожденный талант гораздо менее важен, чем упорный труд, подготовка и уверенность в себе.

Откуда мы это знаем? Прежде всего, мы оба много лет преподавали математику — в качестве профессоров, помощников учителей и частных репетиторов. Снова и снова мы наблюдаем, как повторяется следующая схема:

1. Разные дети с разным уровнем подготовки приходят в математический класс.У некоторых из этих детей есть родители, которые учили их математике с раннего возраста, в то время как у других никогда не было такого родительского вклада.
2. На первых нескольких тестах хорошо подготовленные дети получают отличные баллы, в то время как неподготовленные дети получают только то, что они могут вычислить, взяв его — может быть, 80 или 85%, твердый балл.
3. Неподготовленные дети, не осознающие этого. что лучшие бомбардиры были хорошо подготовлены, предположим, что генетические способности определяли различия в результатах. Решив, что они «просто не математики», они не очень стараются на будущих уроках и еще больше отстают.
4. Хорошо подготовленные дети, не подозревая, что отличники были просто неподготовленными, предполагают, что они «математики», и упорно трудятся в будущем, закрепляя свое преимущество.

Таким образом, вера людей в то, что математические способности не могут измениться, становится самоисполняющимся пророчеством.

Идея о том, что математические способности в основном генетические, является одной темной стороной более крупного заблуждения, что интеллект в основном генетический. Журналы по академической психологии изобилуют статьями, изучающими мировоззрение, лежащее в основе самоисполняющегося пророчества, которое мы только что описали.Например, психолог из Университета Пердью Патриция Лайнехан пишет:

Исследования концепций способностей показали две ориентации на способности. Учащиеся с инкрементальной ориентацией считают, что способности (интеллект) податливы, качество, которое увеличивается с усилием. Учащиеся с ориентацией на сущность верят, что способность быть непоколебимой, фиксированным качеством личности, которое не увеличивается с усилием.

«Ориентация на сущность», которая гласит: «Ты умный или нет, конец истории , » приводит к плохим результатам — результат, подтвержденный многими другими исследованиями.(Актуальность математики продемонстрировали исследователи из Оклахома-Сити, которые недавно обнаружили, что вера в врожденные математические способности может быть ответственной за большую часть гендерного разрыва в математике.)

Психологи Лиза Блэквелл, Кали Тшесневски и Кэрол Двек представили эти альтернативы. определить представления людей об интеллекте:

1. У вас есть определенное количество интеллекта, и вы действительно не можете многое сделать, чтобы его изменить.
2. Вы всегда можете сильно изменить свой интеллект.

Они обнаружили, что студенты, которые согласились с тем, что «вы всегда можете сильно изменить свой ум», получали более высокие оценки. Но, как рассказывает Ричард Нисбетт в своей книге Intelligence and How to Get It, они сделали кое-что еще более замечательное:

Двек и ее коллеги затем попытались убедить группу бедных учеников младших классов средней школы в том, что интеллект очень высок. податливым и может развиваться упорным трудом… что обучение изменяет мозг, формируя новые… связи, и что ученики несут ответственность за этот процесс изменений.

Результат? Убеждение студентов в том, что они могут стать умнее упорным трудом, побудило их работать усерднее и получать более высокие оценки. Вмешательство имело наибольший эффект для студентов, которые вначале считали, что интеллект является генетическим. (Контрольная группа, которую учили, как работает память, не показала таких достижений.)

Но улучшение оценок не было самым драматичным эффектом », — сообщила Двек, что некоторые из ее крутых старшеклассников были доведены до слез из-за новостей о том, что их интеллект находился под их контролем.«Это не пикник, переживающий жизнь с верой в то, что ты родился немым — и обречен оставаться таким.

Почти для всех вера в то, что вы родились немым — и обречены оставаться такими — значит верить в ложь. Сам IQ может улучшиться упорным трудом. Поскольку в правду может быть трудно поверить, вот набор ссылок на некоторые отличные книги, чтобы убедить вас, что большинство людей могут стать умными во многих отношениях, если они будут достаточно много работать:

Итак, почему мы сосредотачиваемся на математике? Во-первых, в наши дни математические навыки становятся все более важными для получения хорошей работы, поэтому вера в то, что вы не можете изучать математику, особенно разрушительна.Но мы также считаем, что математика — это та область, где американская «ошибка врожденных способностей» является наиболее укоренившейся. Математика — величайший умственный призрак неуверенной Америки. Если мы сможем убедить вас, что выучить математику может каждый, это должно быть коротким шагом к тому, чтобы убедить вас, что вы можете узнать что угодно, если будете достаточно много работать.

Америка более восприимчива, чем другие страны, к опасной идее генетических математических способностей? Здесь наши свидетельства носят анекдотический характер, но мы подозреваем, что это так.В то время как американские четвероклассники и восьмиклассники довольно хорошо показывают себя в международных математических сравнениях — опережая такие страны, как Германия, Великобритания и Швеция, — наши старшеклассники значительно отстают от этих стран. Это говорит о том, что родные способности американцев ничем не хуже, чем у других, но мы не можем извлечь выгоду из этих способностей упорным трудом. В ответ на невысокую успеваемость по математике в средней школе некоторые влиятельные голоса в американской образовательной политике предложили просто преподавать меньше математики — , например, Эндрю Хакер призвал больше не быть требованием алгебры.Подтекст, конечно же, заключается в том, что большое количество американских детей просто не рождаются со способностью решать для x .

Мы считаем такой подход пагубным и неправильным. Во-первых, это оставляет многих американцев плохо подготовленными к конкуренции на мировом рынке с трудолюбивыми иностранцами. Но что еще более важно, это может способствовать неравенству. Большое количество исследований показало, что технические навыки в таких областях, как программное обеспечение, все больше и больше определяют разницу между высшим средним классом Америки и ее рабочим классом.Хотя мы не думаем, что образование является панацеей от неравенства, мы определенно считаем, что на все более автоматизированном рабочем месте американцы, которые отказываются от математики, дешевеют.

Слишком много американцев живут в страхе перед уравнениями и математическими символами. Мы думаем, что многие из них боятся «показать себя» генетически неполноценным, не сумев мгновенно понять уравнения (хотя, конечно, в действительности даже профессору математики придется внимательно читать).Поэтому они отшатываются от всего, что выглядит как математика, заявляя: «Я не математик». И поэтому они исключают себя из множества прибыльных карьерных возможностей. Мы считаем, что это нужно прекратить. Нашу точку зрения разделяет экономист и писатель Эллисон Шрагер, написавшая две замечательные колонки в Quartz (здесь и здесь), которые перекликаются со многими нашими взглядами.

Один из способов помочь американцам преуспеть в математике — это скопировать подходы японцев, китайцев и корейцев. В книге Intelligence and How to Get It Нисбетт описывает, как образовательные системы стран Восточной Азии больше ориентированы на упорный труд, чем на врожденные таланты:

1.«Дети в Японии ходят в школу около 240 дней в году, тогда как в США дети ходят в школу около 180 дней в году».
2. «Японские старшеклассники 1980-х годов учились по 3,5 часа в день, и сегодня это число, во всяком случае, может быть выше».
3. «[Жителям Японии и Кореи] не нужно читать эту книгу, чтобы понять, что интеллект и интеллектуальные достижения очень податливы. Конфуций разъяснил этот вопрос двадцать пятьсот лет назад ».
4.«Когда они что-то делают плохо, [японцы, корейцы и т. Д.] В ответ усерднее работают над этим».
5. «Настойчивость перед лицом неудач — неотъемлемая часть азиатской традиции самосовершенствования. И [люди в этих странах] привыкли к критике в целях самосовершенствования в ситуациях, когда жители Запада избегают ее или возмущаются ».

Мы определенно не хотим, чтобы американская система образования копировала все, что делает Япония (и мы остаемся агностиками в отношении мудрости Конфуция).Но нам кажется, что упор на упорный труд является отличительной чертой не только современной Восточной Азии, но и прошлого Америки. Вернувшись к упору на усилия, Америка вернется к своим корням, а не будет просто копировать успешных иностранцев.

Помимо нескольких уловок японцев, у нас есть еще по крайней мере одна идея в американском стиле, чтобы сделать детей умнее: относиться к людям, которые усердно учатся, как к героям и образцам для подражания. Мы уже преклоняемся перед спортивными героями, которые восполняют недостаток таланта настойчивостью и упорством; почему наша образовательная культура должна быть другой?

Математическое образование, как мы полагаем, — лишь самая яркая область медленного и тревожного сдвига.Мы видим, как наша страна движется от культуры упорного труда к культуре веры в генетический детерминизм. В споре между «природой и воспитанием» важный третий элемент — личная настойчивость и усилия — кажется, отошел на второй план. Мы хотим вернуть это обратно и думаем, что математика — лучшее место для начала.

Как стать лучше в математике (тратя меньше времени на изучение)

Несмотря на все исследования, которые показывают, что математики сделали и не родились, я не виню вас за то, что вы думаете, что вы просто плохо разбираетесь в математике, потому что математика чертовски сложная .

Чтобы построить свой математический «домик», вы должны убедиться, что каждый блок знаний идеально подходит, чтобы вы могли строить на нем, не опасаясь, что позже все это опрокинется.

И если вы откладываете хотя бы одну фундаментальную тему, ваши знания рухнут перед скрежетом зубами о наборах задач и трепещущим сердцем на большом экзамене.

Итак, вопрос о деньгах таков: Как вы станете лучше в математике?

Чтобы стать лучше в математике, вам необходимо решать все более сложные математические задачи, используя стратегический психолог Андерс Эрикссон называет преднамеренную практику в своей книге Peak: Secrets from the New Science of Expertise .

Он определяет это как «целенаправленную практику, которая знает, куда идет и как этого добиться».

Это означает, что вы должны намеренно находить проблемы, которые ставят вас в тупик, и работать над ними. А если проблема слишком сложная, сначала найдите более простую для решения.

Это один из самых важных принципов, которые необходимо помнить при изучении математики. В этом посте я поделюсь некоторыми советами, как это сделать.

Совет №1: разбивайте сложные проблемы на более простые

«Если вы не можете решить проблему, то вы можете решить более простую задачу: найти ее.”

— Джордж Полиа , Как это решить

Чтобы понять суть каждой проблемы, вы должны определить концепции, выделить их и практиковаться. Возьмем эту задачу суммирования, например:

Это относительно простая задача, которую должен уметь решать старшеклассник. Но есть часть уравнения, которая усложняет задачу:

. Для решения этой задачи требуется знание суммирования дробных показателей и .

Итак, прежде чем погрузиться в проблему, вы должны сначала убедиться, что вы сами понимаете суммирование и дробные показатели.

Например, вы можете вынуть дробную экспоненту и без нее проработать исходную задачу:

Что тогда даст вам следующее решение:

Затем вы можете убрать дробную экспоненту в задаче и работать над ее усвоением. :

И поймите, что это не так уж сложно решить само по себе:

После того, как вы выяснили эти две концепции сами по себе, вы можете сложить их вместе, чтобы решить исходное уравнение.Посмотрите, как все они сочетаются:

Поздравляю! Вы нашли решение:

Совет № 2: Используйте простые числа

Если вы еще раз взглянете на мой пример, вы заметите, что в нем используются простые числа и низкий предел:

• Простые числа означают Мне не нужен калькулятор для выполнения операций
• Нижний предел означает, что я не утомлю свой мозг повторяющимися операциями, которые я уже знаю, как выполнять

Точно так же, когда вы учитесь, работайте над проблемами, которые сначала имейте простые числа.Вместо того, чтобы усложнять задачу, работа с задачами с маленькими целыми числами позволяет сосредоточиться на концепциях и принципах.

Совет № 3: Просмотрите основные концепции

Иногда, однако, ваше понимание проблемы слишком шатко. (Хорошо, давайте будем честными: это происходит в большинстве случаев.)

В таком случае пора покопаться в своей книге и просмотреть свои заметки в классе. (Я предполагаю, что вы делаете заметки на уровне A +. Если нет, узнайте, как делать заметки лучше здесь.)

Если вы все еще не понимаете, есть много видео на YouTube и статей с пояснениями, которые могут вам помочь. Часто у них есть пошаговые решения, которые показывают, как другие люди находят свои ответы:

Наконец, попросите своего профессора или учителя о помощи. Эрикссон говорит: «Хороший учитель математики… найдет больше, чем просто ответ на проблему; он посмотрит, как именно ученик получил ответ, чтобы понять, какие мысленные представления использовал ученик. При необходимости он посоветует, как более эффективно обдумать проблему.”

Квалифицированные учителя часто могут переформулировать или переформулировать концепции. Иногда достаточно немного другого слова, чтобы сложная концепция встала на место.

Иногда полезно увидеть пошаговое решение проблемы, над которой вы работаете, если вы сначала попытаетесь решить ее сами.

Есть три отличных инструмента для решения проблем, с которыми вы боретесь:

1. Wolfram Alpha
2. Symbolab
3. Chegg Study

Wolfram Alpha — это инструмент, который может решить практически любую математическую задачу, а также дать вам подробные решения (хотя вам понадобится премиум-версия, чтобы увидеть все шаги):

Напротив, хотя пользовательский интерфейс Symbolab более громоздкий и менее интуитивно понятный, его пошаговые решения бесплатны:

Наконец, если вы Если вам нужны решения конкретных задач в вашем учебнике, вы можете проверить Chegg Study.Он покажет вам пошаговые решения для всех задач из учебника, который использует ваш класс математики:

Независимо от того, что вы выберете, убедитесь, что вы попробуете сами задачи после этого, не глядя на решения.

Это поможет вам избежать того, что Джеффри Карпик, исследователь, специализирующийся на стратегиях обучения студентов, называет иллюзией компетентности . Это когда вы чувствуете, что понимаете концепцию, потому что вы прочитали абзац несколько раз и можете быстрее его обработать

Карпик обнаружил, что вместо повторного чтения попытка извлечь информацию из памяти является наиболее эффективной формой обучения.Он выступал за такие методы, как техника Фейнмана, которые помогут вам глубоко вспомнить и запомнить концепции.

Точно так же честно спросите себя: Довел ли я свой мозг до предела, пытаясь сначала решить эту проблему? Если у вас есть, но вы все еще не можете его получить, можно найти ответ. Но после этого заставьте себя вернуться и поработать над проблемой, не просматривая свои записи и ссылки.

Опять же, весь смысл математики состоит в том, чтобы усвоить концепции, с которыми вы работаете, чтобы вы могли строить их поверх них, а не просто выполнять домашнее задание.

Совет № 5: не торопитесь с домашним заданием

«Простое понимание того, как была решена проблема, не обязательно создает фрагмент, который вы можете легко вспомнить позже. Разве , а не , путают с «ага!» прорыва в понимании с солидным опытом! »

— Барбара Окли

Очень заманчиво поработать над домашними заданиями как можно быстрее, чтобы вы могли вернуться к игре Civilization VI или The Witcher 3 .

Но технические предметы, такие как математика и естественные науки, требуют медленного изучения.

Для начала, в книге профессора инженерных наук Барбары Окли «Разум для чисел » Окли предлагает применять повторение с интервалом. Вместо того, чтобы проводить долгие часы в библиотеке, она советует более короткие и частые учебные занятия, которые растягиваются на недели, а не на дни.

Этот вид медленного, целенаправленного обучения позволяет вашему мозгу прочно усвоить каждую концепцию и, что более важно, связи между ними.

Чтобы по-настоящему владеть своими инструментами, вам нужно научиться адаптировать их к различным ситуациям.

Точно так же, чтобы по-настоящему сказать, что вы освоили часть математики, вам нужно разобраться в проблемах и сразу же знать, какую формулу или процесс использовать.