Центр на миуссах: Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования города Москвы «Дворец творчества детей и молодёжи на Миусах»

Центр тяжести. Красная точка — центр тяжести G.

Центр тяжести любого тела также можно определить с помощью простой физической процедуры. Например, для пластины на рисунке точка G может быть определена путем подвешивания пластины за шнур, прикрепленный к точке A, а затем за шнур, прикрепленный к точке C.Когда пластина подвешена к A, линия AD вертикальна; когда он подвешен к C, линия CE вертикальна. Центр тяжести находится на пересечении AD и CE. Когда объект подвешен в одной точке, его центр тяжести находится непосредственно под этой точкой.

4.2: Центр масс — физика LibreTexts

Системы с множественными частицами

Когда мы изучали теорему работы-энергии, мы обнаружили, что основным преимуществом этого подхода был хороший «ярлык», доступный нам, когда мы выбирали систему, достаточно большую, чтобы энергия внутри системы сохранялась.То же самое и с теоремой об импульсе-импульсе. Поэтому мы в значительной степени отложим случаи, когда на систему действует внешний импульс, и сосредоточимся только на системах, сохраняющих импульс.

Во многих случаях, с которыми мы имели дело до сих пор, наша «система» представляла собой только один объект или, возможно, два объекта, причем один из них (то есть Земля) настолько велик, что мы можем игнорировать его, потому что он в основном просто сидит там. поскольку он обеспечивает потенциальную энергию, которая влияет на движение другого объекта. Но теперь мы охватим несколько активных объектов, что означает, что их массы не будут настолько разными, чтобы можно было игнорировать движение одного объекта.Теперь нам нужно будет учитывать движения всех объектов в определенной системе. Обратите внимание, что мы не делаем никаких заявлений об относительном взаимодействии этих объектов — они могут быть надежно прикреплены друг к другу в жестком объятии (твердый объект), или они могут быть полностью свободны двигаться независимо друг от друга (объем газа).

Рассмотрим теорему об импульсе-импульсе для системы, состоящей из нескольких объектов. Импульсная часть этой теоремы состоит из двух частей: масса, которая, как мы предполагаем, является суммой масс всех объектов в системе; и скорость центра масс системы.У нас есть довольно интуитивное понятие центра масс для отдельного объекта, но как мы можем говорить о центре масс системы с множеством отдельных движущихся объектов? Мы отвлечемся от нашего обсуждения сохранения импульса, чтобы заняться этим.

Центр масс (собрания частиц)

В некотором смысле можно думать о центре масс отдельного объекта как о его «среднем положении». Давайте рассмотрим простейший случай «объекта», состоящего из двух крошечных частиц, разделенных вдоль оси \ (x \), как на рисунке 4.2.1.

Рисунок 4.2.1 — Центр масс для двух точечных частиц

Если две частицы имеют равную массу, то довольно ясно, что «среднее положение» двухчастичной системы находится посередине между ними.

Предупреждение

Центр масс — это математическая конструкция, а не фактическое положение, которое находится на физическом объекте. Центр масс системы часто оказывается в позиции, состоящей из пустого пространства, будь то из-за того, что система состоит из нескольких объектов, или из-за того, что единственный объект в системе изогнут или имеет отверстие.

Если массы двух частиц различны, будет ли «среднее положение» по-прежнему находиться посередине между ними? Возможно, в некотором смысле это правда, но мы ищем не геометрический центр , мы ищем среднее размещение массы.Если \ (m_1 \) имеет вдвое большую массу, чем \ (m_2 \), то, когда дело доходит до среднего размещения массы, \ (m_1 \) получает «два голоса». Поскольку в позиции \ (x_1 \) сосредоточено больше массы, чем в \ (x_2 \), центр масс должен быть ближе к \ (x_1 \), чем к \ (x_2 \). Мы достигаем идеального баланса, «взвешивая» (не каламбур) позиции по той доле от общей массы, которая в них находится. Соответственно, определяем как центр масс:

\ [x_ {cm} = \ left (\ dfrac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) x_1 + \ left (\ dfrac {m_2} {m_1 + m_2} \ right) x_2 = \ dfrac {m_1 x_1 + m_2 x_2} {M_ {system}} \]

Если частиц больше двух, мы просто складываем их все в сумму в числителе.Чтобы расширить это определение центра масс до трех измерений, нам просто нужно проделать то же самое в направлениях \ (y \) и \ (z \). Тогда вектор положения центра масс системы многих частиц будет:

\ [\ begin {array} {l} \ overrightarrow r_ {cm} & = x_ {cm} \; \ widehat i + y_ {cm} \; \ widehat j + z_ {cm} \; \ widehat k \\ & = \ dfrac {\ left [m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ dots \ right] \ widehat i + \ left [m_1 y_1 + m_2 y_2 + \ dots \ right] \ widehat j + \ left [m_1 z_1 + m_2 z_2 + \ dots \ right] \ widehat k} {M} \\ & = \ dfrac {m_1 \ left [x_1 \ widehat i + y_1 \ widehat j + z_1 \ widehat k \ right] + m_2 \ left [x_2 \ widehat i + y_2 \ widehat j + z_2 \ widehat k \ right] + \ dots} {M} \\ & = \ dfrac {m_1 \ overrightarrow r_1 + m_2 \ overrightarrow r_2 + \ dots} {M} \ end {array} \]

Центр масс (собрания предметов)

Предположим, теперь мы хотим знать центр масс нескольких протяженных объектов, где все тяжелые работы уже были выполнены — центры масс объектов уже известны (см. Ниже, как выполнять эти тяжелые работы).Как определить центр масс такой системы? Это оказывается довольно просто, если вы знаете расположение центров масс двух объектов — просто относитесь к ним так, как если бы они были точечными частицами, вся масса которых сосредоточена в их собственных центрах масс, а затем выполняйте расчет выше .

Рисунок 4.2.2 для расширенных объектов 0010

Для доказательства этого давайте рассмотрим два протяженных объекта (A и B) как совокупность множества точечных частиц (атомов, если хотите) и запишем их центры масс (отсчитываемые от общего начала) через массы. и положения их атомов.

\ [\ left. \ begin {array} {l} \ overrightarrow r_ {cm \; A} = \ dfrac {m_ {1A} \ overrightarrow r_ {1A} + m_ {2A} \ overrightarrow r_ {2A} + \ dots} {M_A} \ \ \ overrightarrow r_ {cm \; B} = \ dfrac {m_ {1B} \ overrightarrow r_ {1B} + m_ {2B} \ overrightarrow r_ {2B} + \ dots} {M_B} \ end {array} \ right \ } \; \; \; \ iff \; \; \; \ overrightarrow r_ {cm} = \ dfrac {M_A \ overrightarrow r_ {cm \; A} + M_B \ overrightarrow r_ {cm \; B}} {M_A + M_B} \]

Левая часть уравнения — это уравнения центра масс для каждого объекта в терминах масс и положений его атомов.Правая часть дает центр масс системы двух объектов с точки зрения масс объектов и положений их отдельных центров масс. Когда выражения для \ (\ overrightarrow r_ {cm \; A} \) и \ (\ overrightarrow r_ {cm \; B} \) из левой части вставляются в уравнение правой части, тогда все атомы оба объекта объединены в единую формулу центра масс, как если бы они были частью единой системы с общей массой \ (M_A + M_B \), что доказывает приведенное выше утверждение.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Два тонких круглых диска из одного и того же материала лежат на горизонтальной поверхности так, чтобы их внешние края соприкасались друг с другом. Один диск имеет больший радиус (\ (R \)), чем другой (\ (r \)), и одинаковую толщину. Найдите, как далеко центр масс двухдисковой системы находится от центра большего диска.

Раствор

Диски изготовлены из одинакового однородного материала, поэтому они имеют одинаковую массовую плотность.2} \; m \ nonumber \]

Давайте выберем центр большего диска в качестве начала координат, а центр другого диска будет лежать на оси \ (+ x \) -. Диски однородны, поэтому их отдельные центры масс лежат в их геометрических центрах, и мы можем вычислить центр масс системы, рассматривая диски как точечные массы, расположенные в этих центрах. Расстояние центра масс от начала координат — это то, что мы ищем, поэтому:

\ [x_ {cm} = \ dfrac {M x_1 + m x_2} {M + m} = \ dfrac {M \ left (0 \ right) + m \ left (R + r \ right)} {M + m} = \ dfrac {m \ left (R + r \ right)} {\ dfrac {R ^ 2} {r ^ 2} m + m} = \ в коробке {\ dfrac {\ left (R + r \ right) г ^ 2} {R ^ 2 + r ^ 2}} \ nonumber \]

Мы можем перепроверить этот ответ, рассмотрев очевидный частный случай: \ (R = r \).Если диски идентичны, то центр масс должен находиться на полпути между их центрами, то есть в точке, где они соприкасаются, на расстоянии \ (R \) от центра большего диска. Вставка \ (R \) вместо \ (r \) действительно дает этот ответ.

Центр масс (сплошных объектов)

Теперь перейдем к проблеме вычисления положения центра масс объекта, распределение масс которого известно. Далее следует чистая математика, но это важная математика, которая снова и снова возвращается в физику.

Предупреждение

Важно понять, как работает процесс настройки. Он завершается интегралом, но выполнение интеграла — это просто занятие по сравнению с задачей его настройки. Легко быть ошеломленным мыслью о строящемся интеграле, но если вы понимаете каждый шаг, ведущий к нему (и не пытайтесь просто перейти к ответу, который выглядит как то, что вы видели раньше), это пойдет нормально.

Мы будем упрощать это, ограничиваясь объектами, для которых положение центра масс в двух из трех измерений очевидно, что означает, что нам не нужно беспокоиться обо всем векторе, описанном в уравнении 4.2.2 — подойдет только компонент \ (x \). Хорошая модель для этого — простой тонкий цилиндрический стержень. Распределение масс этого стержня полностью цилиндрически симметрично, что означает, что центр масс лежит на оси, проходящей через его центр. Но распределение массы как функция положения на этой оси может быть неоднородным. Например, на одном конце он может быть более плотным, чем на другом. Другими словами, частицы, расположенные внутри стержня, могут быть уплотнены вместе более плотно в одной области стержня, чем в другой, а это означает, что центр масс не обязательно будет находиться в точке на полпути между концами.

Прежде чем мы продолжим, нам нужно сказать несколько слов о массовой плотности . Плотность — это мера того, насколько плотно упаковано в пространстве какое-то количество чего-либо. В этом количестве может быть много разных вещей. Здесь мы будем рассматривать массу, но на более поздних уроках физики вы будете иметь дело с плотностью электрического заряда (и даже, как ни странно, с вероятностью!). Равномерная плотность для области в пространстве означает, что количество (каким бы оно ни было) равномерно распределено повсюду в этом регионе.Мы определяем среднюю плотность области в пространстве, складывая, сколько там «материала», а затем делим на общее пространство, которое она занимает. Это дает среднюю плотность, но, конечно, плотности могут варьироваться от одной точки пространства к другой, и в этом случае определяется функция плотности . Здесь мы будем иметь дело только с простейшими переменными плотностями. Поскольку в наших примерах мы будем рассматривать в основном тонкие стержни, мы будем рассматривать только плотности, которые могут варьироваться по длине стержня — это упрощает процесс до одного измерения.

Функция плотности массы в этом случае является функцией одной переменной, имеет единицы измерения \ (кг / м \) и называется линейной плотностью массы . Эта функция плотности массы обычно обозначается как \ (\ lambda \ left (x \ right) \). Если он однородный, то функция является константой \ (\ lambda \), а количество массы \ (m \) в пределах заданной длины \ (l \) просто определяется как:

\ [m = \ lambda l \]

Если плотность неоднородна, то она постоянна только на бесконечно малой длине \ (dx \), поэтому уравнение 4.2.4 может применяться только к крошечному куску массы \ (dm \), и соотношение отличается в каждой позиции \ (x \), потому что плотность разная в каждой позиции:

\ [dm = \ lambda \ left (x \ right) dx \]

Теперь, когда мы можем записать, сколько массы находится в каждой позиции, мы готовы выполнить наши вычисления. Начнем с рисования диаграммы со стержнем в системе координат вдоль оси \ (x \) так, что один конец находится в начале координат, а другой — в точке \ (x = L \). На рис. 4.2.3 представлена ​​полностью размеченная диаграмма, которая очень полезна для решения таких проблем.

Центр масс — Энциклопедия Нового Мира

«Центр тяжести» перенаправляется сюда.

В физике центр масс (CM) системы частиц — это особая точка, в которой масса системы ведет себя (для многих целей), как если бы она была сосредоточена.Центр масс зависит только от положений и масс частиц, составляющих систему. В контексте полностью однородного гравитационного поля центр масс часто называют центром тяжести — точкой, в которой действует гравитация. Определив местонахождение центра масс системы, можно проанализировать движение всей системы в отличие от движения ее отдельных частей.

В случае твердого тела положение его центра масс фиксировано по отношению к объекту (но не обязательно в контакте с ним).В случае неплотного распределения масс в свободном пространстве, такого как, скажем, выстрел из дробовика, положение центра масс — это точка в пространстве между ними, которая может не соответствовать положению какой-либо отдельной массы.

Центр масс тела не всегда совпадает с его интуитивно понятным геометрическим центром. Например, инженеры пытаются сконструировать спортивный автомобиль так, чтобы его центр тяжести был как можно ниже, чтобы автомобиль лучше управлялся. Когда прыгун в высоту выполняет «фосбери-флоп», он включает в себя сгибание тела таким образом, чтобы прыгун мог оторваться от перекладины, а его центр масс — нет. ^[1] Кроме того, объект не будет опрокидываться, пока его центр масс находится в пределах его опоры.

Так называемая «система отсчета центра тяжести» (менее предпочтительный термин для системы отсчета центра импульса) — это инерциальная система отсчета, в которой центр масс системы покоится.

Примеры

• Центр масс двухчастичной системы лежит на линии, соединяющей частицы (или, точнее, их отдельные центры масс). Центр масс находится ближе к более массивному объекту.(Подробнее см. Центр масс ниже.)
• Центр масс кольца находится в центре кольца (в воздухе).
• Центр масс сплошного треугольника лежит на всех трех срединных линиях и, следовательно, в центре тяжести, который также является средним из трех вершин.
• Центр масс прямоугольника находится на пересечении двух диагоналей.
• В сферически симметричном теле центр масс находится в центре. Это приблизительно применимо к Земле: плотность значительно варьируется, но в основном она зависит от глубины и меньше от двух других координат.
• В более общем смысле, для любой симметрии тела его центр масс будет фиксированной точкой этой симметрии.

История

Понятие центра тяжести было впервые введено древнегреческим математиком, физиком и инженером Архимедом Сиракузским. Архимед показал, что крутящий момент, прилагаемый к рычагу грузами, находящимися в различных точках вдоль рычага, такой же, как если бы все веса были перемещены в одну точку — их центр тяжести.В работе с плавающими телами он продемонстрировал, что ориентация плавающего объекта — это такая ориентация, при которой его центр тяжести находится как можно ниже. Он разработал математические методы для нахождения центров тяжести объектов однородной плотности различной четко определенной формы, в частности треугольника, полусферы и усеченной части кругового параболоида.

В средние века теории центра тяжести были развиты Абу Райханом аль-Бируни, ар-Рази (латинизировано как Rhazes ), Омаром Хайямом и аль-Хазини. ^[2]

Математическое определение

Центр масс R {\ displaystyle \ mathbf {R}} системы частиц определяется как среднее их положений, ri {\ displaystyle \ mathbf {r} _ { i}}, взвешенные по их массам, mi {\ displaystyle m_ {i}}:

R = ∑miri∑mi {\ displaystyle \ mathbf {R} = {\ sum m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ over \ sum m_ {i}}}

Для непрерывного распределения с плотностью массы ρ (r) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})} и полной массой M {\ displaystyle M}, сумма становится интегралом:

R = 1M∫rdm = 1M∫ρ (r) r dV = ∫ρ (r) r dV∫ρ (r) dV {\ displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac { 1} {M}} \ int \ mathbf {r} \; dm = {\ frac {1} {M}} \ int \ rho (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {r} \ dV = {\ frac {\ int \ rho (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {r} \ dV} {\ int \ rho (\ mathbf {r}) \ dV}}}

Если объект имеет однородную плотность, тогда его центр масс совпадает с центром тяжести его формы.

Вывод

Следующие уравнения движения предполагают, что существует система частиц, управляемая внутренними и внешними силами. Внутренняя сила — это сила, вызванная взаимодействием частиц внутри системы. Внешняя сила — это сила, которая возникает извне системы и действует на одну или несколько частиц внутри системы. Внешняя сила не обязательно возникает из-за однородного поля.

В любой системе без внешних сил центр масс движется с постоянной скоростью.Это относится ко всем системам с классическими внутренними силами, включая магнитные поля, электрические поля, химические реакции и так далее. Более формально это верно для любых внутренних сил, которые удовлетворяют слабой форме Третьего закона Ньютона.

Полный импульс для любой системы частиц определяется выражением

p = Mvcm {\ displaystyle \ mathbf {p} = M \ mathbf {v} _ {\ mathrm {cm}}}

Где M обозначает общую массу, а v _см — скорость центра масс.Эту скорость можно вычислить, взяв производную по времени от положения центра масс.

Аналог Второго закона Ньютона —

F = Macm {\ displaystyle \ mathbf {F} = M \ mathbf {a} _ {\ mathrm {cm}}}

Где F означает сумму все внешние силы, действующие на систему, и a _см указывает на ускорение центра масс.

Допустимая общая внутренняя сила системы.

F = MR¨ {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {M} {\ ddot {\ mathbf {R}}}}

, где M {\ displaystyle \ mathbf {M}} — общая масса система, а R {\ displaystyle \ mathbf {R}} — вектор, который еще предстоит определить, поскольку:

p = ∑mjr˙j {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum {m_ {j} {\ dot {r}} _ {j}}}

и

F = p˙ {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ dot {\ mathbf {p}}}}

, затем

R = 1M∑mjrj {\ displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {1} {\ mathbf {M}}} \ sum {m_ {j} r_ {j}}}

Таким образом, получается векторное определение центра масс в с точки зрения общих сил в системе.Это особенно полезно для систем с двумя телами.

Вращение и центры тяжести

Центр масс часто называют центром тяжести , потому что любое однородное гравитационное поле g действует на систему так, как если бы масса M системы была сосредоточена в центре масс R. Это видно как минимум двумя способами:

• Гравитационная потенциальная энергия системы равна потенциальной энергии точечной частицы с той же массой M , расположенной в точке R.
• Гравитационный момент в системе равен крутящему моменту силы M г , действующей на R:

  R × Mg = imiri × g. {\ Displaystyle \ mathbf {R} \ times M \ mathbf {g} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {g}.}

Если гравитационное поле, действующее на тело, неоднородно, тогда центр масс не обязательно проявляет эти удобные свойства относительно силы тяжести. Как изложено в влиятельном учебнике Фейнмана Лекции Фейнмана по физике:

Центр масс иногда называют центром тяжести по той причине, что во многих случаях гравитацию можно считать однородной.… В случае, если объект настолько велик, что непараллельность гравитационных сил значительна, тогда центр, в котором необходимо применить уравновешивающую силу, не просто описать, и он немного отходит от центра масс. Вот почему нужно различать центр масс и центр тяжести.

Более поздние авторы часто менее осторожны, заявляя, что, когда гравитация неоднородна, «центр тяжести» отходит от CM. Такое использование, кажется, подразумевает четко определенную концепцию «центра тяжести» для неоднородных полей, но такой вещи нет.Саймон в своем учебнике Механика, показывает, что центр тяжести протяженного тела всегда должен определяться относительно внешней точки, в которой находится точечная масса, которая оказывает гравитационную силу на рассматриваемый объект. Еще хуже, как говорит Саймон:

Для двух протяженных тел в общем случае нельзя определить уникальные центры тяжести, даже относительно друг друга, за исключением особых случаев, когда тела находятся далеко друг от друга или когда одно из них является сферой… Общую проблему определения гравитационных сил между телами обычно лучше всего рассматривать с помощью концепций полевой теории гравитации….

Даже при рассмотрении приливных сил на планетах достаточно использовать центры масс, чтобы найти общее движение. На практике для неоднородных полей просто не говорят о «центре тяжести». ^[3]

Значение для авиации

Центр масс — важная точка самолета, которая существенно влияет на устойчивость самолета. Для обеспечения безопасности полета на самолете очень важно, чтобы центр тяжести находился в указанных пределах.Этот диапазон варьируется в зависимости от самолета, но, как правило, он центрируется примерно в одной четверти расстояния от передней кромки крыла до задней кромки крыла (точка четверти хорды). Если центр масс находится выше переднего предела, самолет будет менее маневренным, возможно, до такой степени, что он не сможет повернуться для взлета или развернуться для посадки. Если центр масс находится за задним пределом, моментное плечо руля высоты уменьшается, что затрудняет выход из состояния остановки.Самолет будет более маневренным, но при этом менее устойчивым и, возможно, настолько нестабильным, что будет невозможно летать.

Барицентр в астрономии

Барицентр (или барицентр; от греческого βαρύκεντρον ) — это точка между двумя объектами, где они уравновешивают друг друга. Другими словами, это центр тяжести, в котором два или более небесных тела вращаются вокруг друг друга. Когда луна вращается вокруг планеты или планета вращается вокруг звезды, оба тела фактически вращаются вокруг точки, которая находится за пределами центра большего тела.Например, Луна не вращается вокруг точного центра Земли, а вращается вокруг точки за пределами центра Земли (но значительно ниже поверхности Земли), где их массы уравновешивают друг друга. Барицентр — это один из фокусов эллиптической орбиты каждого тела. Это важное понятие в области астрономии, астрофизики и т.п.

В простом случае с двумя телами, r ₁ , расстояние от центра первого тела до центра масс определяется выражением:

r1 = a⋅m2m1 + m2 = a1 + m1 / m2 { \ displaystyle r_ {1} = a \ cdot {m_ {2} \ over m_ {1} + m_ {2}} = {a \ over 1 + m_ {1} / m_ {2}}}

где:

a — расстояние между центрами двух тел;

м ₁ и м ₂ — массы двух тел.

r ₁ — по существу большая полуось орбиты первого тела вокруг центра масс, а r ₂ = a — r ₁ большая полуось орбита второго тела. Если барицентр расположен на в пределах более массивного тела, это тело будет казаться «раскачивающимся», а не движущимся по заметной орбите.

В следующей таблице приведены некоторые примеры из нашей солнечной системы. Цифры округлены до трех значащих цифр.Последние два столбца показывают R ₁ , радиус первого (более массивного) тела, и r ₁ / R ₁ , отношение расстояния до центра масс и этого радиуса: Значение меньше единицы показывает, что центр масс находится внутри первого тела.

Если м ₁ >> м ₂ — что верно для Солнца и любой планеты — тогда соотношение r ₁ / R ₁ приблизительно равно:

aR1⋅m2m1 {\ displaystyle {a \ over R_ {1}} \ cdot {m_ {2} \ over m_ {1}}}

Следовательно, барицентр системы Солнце-планета будет находиться за пределами Солнце, только если:

aR⨀⋅mplanetm⨀> 1⇒a⋅mplanet> R⨀⋅m⨀≈2,3 × 1011mEarthkm≈1530mEarthAU {\ displaystyle {a \ over R _ {\ bigodot}} \ cdot {m_ {planet} \ over m _ {\ bigodot}}> 1 \; \ Rightarrow \; {a \ cdot m_ {planet}}> {R _ {\ bigodot} \ cdot m _ {\ bigodot}} \ приблизительно 2.{11} \; m_ {Earth} \; {\ mbox {km}} \ приблизительно 1530 \; m_ {Earth} \; {\ mbox {AU}}}

То есть там, где планета тяжелая и вдали от Солнца.

Если бы Юпитер имел орбиту Меркурия (57 900 000 км, 0,387 а. Е.), Барицентр Солнце-Юпитер находился бы всего в 5 500 км от центра Солнца ( r ₁ / R ₁ ~ 0,08). Но даже если бы Земля имела орбиту Эриды (68 а.е.), барицентр Солнце-Земля все равно был бы в пределах Солнца (чуть более 30 000 км от центра).

Чтобы вычислить фактическое движение Солнца, вам нужно будет просуммировать все влияния всех планет, комет, астероидов и т. Д. На Солнечную систему (см. Задачу о n телах). Если бы все планеты были выровнены по одну сторону от Солнца, общий центр масс находился бы примерно на 500 000 км над поверхностью Солнца.

Приведенные выше расчеты основаны на среднем расстоянии между телами и дают среднее значение r ₁ . Но все небесные орбиты имеют эллиптическую форму, и расстояние между телами варьируется между апсидами, в зависимости от эксцентриситета, e. Следовательно, положение центра масс также меняется, и в некоторых системах возможно, чтобы центр масс находился на иногда внутри, а иногда снаружи более массивного тела. Это происходит, когда:

11 − e> r1R1> 11 + e {\ displaystyle {1 \ over {1-e}}> {r_ {1} \ over R_ {1}}> {1 \ over {1+ e}}}

Обратите внимание, что система Солнце-Юпитер с e _Юпитер = 0,0484 просто не соответствует требованиям: 1,05 ≯ 1,07> 0,954.

Анимация

Изображения здесь репрезентативны, а не смоделированы.

Определение местоположения центра масс

Для произвольной двумерной физической формы

Этот метод полезен, когда кто-то хочет найти центр тяжести сложного плоского объекта с неизвестными размерами.

Для L-образного объекта

1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центр масс этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Проведите линию, соединяющую центр масс. Центр масс фигуры должен лежать на этой линии AB.
2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центр масс этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали.Проведите линию, соединяющую центр масс. Центр масс L-образной формы должен лежать на этой прямой CD.
3. Поскольку центр масс формы должен лежать вдоль AB, а также вдоль CD, очевидно, что он находится на пересечении этих двух линий, на O. Точка O может , а не , находиться внутри L-образного объекта. .

Для составной формы

Этот метод полезен, когда вы хотите найти центр тяжести объекта, который легко разделяется на элементарные формы, центры масс которых легко найти.Здесь мы найдем центр масс только в направлении x . Эту же процедуру можно выполнить для определения центра масс в направлении y .

Форма. Его легко разделить на квадрат, треугольник и круг. Обратите внимание, что круг будет иметь отрицательную область.

В Списке центроидов мы отмечаем координаты отдельных центроидов.

Из уравнения 1 выше: 3 × −π2,52 + 5 × 102 + 13,33 × 1022 − π2,52 + 102 + 1022≈8,5 {\ displaystyle {\ frac {3 \ times — \ pi 2.{2}} {2}}}} \ около 8,5} шт.

Центр масс этой фигуры находится на расстоянии 8,5 единиц от левого угла фигуры.

Трассировка по периметру формы для определения центра масс

Прямая развертка планиметра, известная как интегграф или целикометр, может использоваться для определения положения центра масс неправильной формы. Лучшим термином, вероятно, будет планиметр момента. Этот метод можно применить к фигуре с неровной, гладкой или сложной границей, где другие методы слишком сложны.Его регулярно использовали судостроители, чтобы корабль не опрокинулся. ^[4]

См. Также

Примечания

1. ↑ Майкл Ван Пелт, Космический туризм: Приключения на околоземной орбите и за ее пределами (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер, 2005, ISBN 0387402136), 185.
2. ↑ Салах Займече, Мерв, Фонд науки, технологий и цивилизации. Проверено 4 октября 2008 г.
3. ↑ K.R. Саймон, Механика, 3-е изд. (Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли, 1971).
4. ↑ С.Дж. Сангвин, Определение центра масс с помощью механических средств. Проверено 4 октября 2008 г.

Ссылки

• Фейнман, Ричард, Роберт Лейтон и Мэтью Сэндс. 1963. Лекции Фейнмана по физике. Лондон, Великобритания: Аддисон Уэсли. ISBN 0201021161.
• Гольдштейн, Герберт, Чарльз Пул и Джон Сафко. 2002. Классическая механика, 3-е изд. Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. ISBN 0201657023.
• Клеппнер, Даниэль и Роберт Коленков.1973. Введение в механику, 2-е изд. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0070350485.
• Мэрион, Джерри и Стивен Торнтон. 1995. Классическая динамика частиц и систем, 4-е изд. Форт-Уэрт, Техас: паб Saunders College. ISBN 0030973023.
• Мюррей, Карл и Стэнли Дермотт. 1999. Динамика солнечной системы . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521572959.
• Serway, Raymond A. и John W. Jewett. 2004. Физика для ученых и инженеров, 6-е изд.Бельмонт, Калифорния: Брукс / Коул. ISBN 0534408427.
• Саймон, Кейт Р. 1971. Механика, 3-е изд. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли.
• Типлер, Пол. 2004. Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика, 5-е изд. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: W.H. Фримен. ISBN 0716708094.

Внешние ссылки

Все ссылки получены 23 января 2017 г.

Кредиты

Энциклопедия Нового Света Писатели и редакторы переписали и завершили статью Википедия в соответствии со стандартами New World Encyclopedia .Эта статья соответствует условиям лицензии Creative Commons CC-by-sa 3.0 (CC-by-sa), которая может использоваться и распространяться с указанием авторства. Кредит предоставляется в соответствии с условиями этой лицензии, которая может ссылаться как на участников Энциклопедии Нового Света, участников, так и на самоотверженных добровольцев Фонда Викимедиа. Чтобы процитировать эту статью, щелкните здесь, чтобы просмотреть список допустимых форматов цитирования. История более ранних вкладов википедистов доступна исследователям здесь:

История этой статьи с момента ее импорта в Энциклопедия Нового Света :

Примечание. могут применяться ограничения на использование отдельных изображений, на которые распространяется отдельная лицензия.

Центр масс человеческого тела

Центр масс (ЦМ) является важным физическим понятием. Это точка на объекте, в которой взвешенное относительное положение распределенной массы суммируется до нуля — точка, вокруг которой вращаются объекты.

Человеческие пропорции играют важную роль в искусстве, измерениях и медицине (хорошо известный рисунок человеческого тела показан на). Хотя человеческое тело имеет сложные особенности, расположение центра масс (ЦМ) может быть хорошим индикатором пропорций тела.Центр масс человеческого тела зависит от пола и положения конечностей. В положении стоя оно обычно примерно на 10 см ниже пупка, около верхней части тазобедренных костей. В этом Atom мы узнаем, как измерить COM человеческого тела.

Леонардо да Винчи «Витрувианский человек»

Витрувианский человек: рисунок, созданный Леонардо да Винчи. Рисунок основан на соотношениях идеальных человеческих пропорций с геометрией, описанных [4] древнеримским архитектором Витрувием в Книге III его трактата De Architectura.

Во-первых, возьмем две весы и деревянную балку (длиной H метр), достаточно длинной, чтобы вместить все тело объекта. Разместите весы на расстоянии H метров друг от друга и поместите луч поперек весов, как показано на рис. Теперь позвольте объекту лечь на балку. Убедитесь, что его пятки совпадают с одним концом балки. Измерьте показания (F ₁ , F ₂ ) по шкале.

COM человеческого тела

На этом рисунке показано измерение COM человеческого тела.

Система (человек + луч) имеет три внешних силы: гравитацию на объект (F _CM ) и нормальные силы от весов F ₁ и F ₂ . Уравнение движения для силы (F = ma) даст нам:

$ F_1 + F_2 = Mg $,

, где M — масса объекта. (Мы предполагаем, что деревянная балка не имеет массы.) Это уравнение не дает всей информации для определения местоположения COM. Однако уравнение движения для крутящего момента $ (\ tau = I \ alpha) $ помогает.

Поскольку чистый крутящий момент системы равен нулю (следовательно, нет ускорения вращения),

$ h F_2 — (H-h) F_1 = 0 $. (h: высота COM)

COM выбирается в качестве исходной точки для крутящего момента. Следовательно, сила тяжести не влияет на крутящий момент. Решая относительно h и используя уравнение движения для силы, получаем

$ h = \ frac {HF_1} {Mg} $.

Детский центр массовых фактов

В физике центр масс распределения массы в пространстве — это единственная точка, в которой взвешенное относительное положение распределенной массы суммируется до нуля, или точка, в которой при приложении силы он перемещается в направлении сила без вращения.Распределение массы сбалансировано вокруг центра масс, и среднее из взвешенных координат положения распределенной массы определяет его координаты. Расчеты в механике часто упрощаются, когда они формулируются относительно центра масс. Это гипотетическая точка, в которой можно предположить, что вся масса объекта сосредоточена для визуализации его движения. Другими словами, центр масс — это частичный эквивалент данного объекта для применения законов движения Ньютона.

В случае одиночного твердого тела центр масс фиксируется по отношению к телу, а если тело имеет однородную плотность, он будет расположен в центре тяжести. Центр масс может располагаться вне физического тела, как это иногда бывает с полыми или открытыми объектами, такими как подкова. В случае распределения отдельных тел, таких как планеты Солнечной системы, центр масс может не соответствовать положению какого-либо отдельного члена системы.

Центр масс является полезной точкой отсчета для расчетов в механике, которые включают массы, распределенные в пространстве, такие как линейный и угловой момент планетарных тел и динамика твердого тела. В орбитальной механике уравнения движения планет формулируются как точечные массы, расположенные в центрах масс. Система центра масс — это инерциальная система отсчета, в которой центр масс системы покоится относительно начала системы координат.

История

Понятие центра масс было впервые введено древнегреческим физиком, математиком и инженером Архимедом Сиракузским.Архимед показал, что крутящий момент (сила поворота), прилагаемый к рычагу грузами, находящимися в различных точках вдоль рычага, такой же, как если бы все веса были перемещены в одну точку — их центр масс.

Архимед был первым человеком, который разработал способы нахождения центра масс в различных объектах.

Определение центра масс

Основная страница: Определение центра масс

Экспериментальное определение центра масс тела использует силы тяжести, действующие на тело, и полагается на тот факт, что в параллельном гравитационном поле у ​​поверхности земли центр масс совпадает с центром тяжести.

Центр масс тела с осью симметрии и постоянной плотностью должен находиться на этой оси. Таким образом, центр масс кругового цилиндра постоянной плотности имеет центр масс на оси цилиндра. Точно так же центр масс сферически-симметричного тела постоянной плотности находится в центре сферы. В общем, для любой симметрии тела его центр масс будет фиксированной точкой этой симметрии.

В двух измерениях

Экспериментальный метод определения центра масс состоит в том, чтобы подвесить объект с двух точек и сбросить отвес с точек подвеса.Пересечение двух линий — центр масс.

Форма объекта может быть уже определена математически, но может быть слишком сложной для использования известной формулы. В этом случае можно разделить сложную форму на более простые, более элементарные формы, центры масс которых легко найти. Если общая масса и центр масс могут быть определены для каждой области, то центр масс всего представляет собой средневзвешенное значение центров. Этот метод может работать даже с объектами с отверстиями, которые можно рассматривать как отрицательные массы.

Прямая развертка планиметра, известная как интегграф или целикометр, может использоваться для определения положения центроида или центра масс неправильной двумерной формы. Этот метод можно применить к фигуре с неровной, гладкой или сложной границей, где другие методы слишком сложны. Судостроители регулярно использовали его для сравнения с требуемым водоизмещением и центром плавучести корабля, а также для предотвращения его опрокидывания.

Приложения

Инженеры пытаются сконструировать спортивный автомобиль так, чтобы его центр масс был опущен, чтобы автомобиль лучше управлялся. Когда прыгуны в высоту выполняют «фосбери-флоп», они сгибают свое тело таким образом, чтобы оно касалось перекладины, а ее центр масс не обязательно ее касался.

Аэронавтика

Заглавная страница: Центр тяжести самолета

Центр масс — важная точка самолета, которая значительно влияет на устойчивость самолета.Чтобы самолет был достаточно устойчивым и безопасным для полета, центр масс должен находиться в определенных пределах. Если центр масс находится выше переднего предела, самолет будет менее маневренным, возможно, до такой степени, что он не сможет повернуться для взлета или развернуться для посадки. Если центр масс находится за задним пределом, самолет будет более маневренным, но также менее устойчивым и, возможно, настолько нестабильным, что полет будет невозможен. Моментное плечо лифта также будет уменьшено, что затруднит восстановление после остановки.

У вертолетов в режиме висения центр масс всегда находится непосредственно под головкой винта. В прямом полете центр масс смещается вперед, чтобы уравновесить отрицательный крутящий момент по тангажу, создаваемый применением циклического управления для продвижения вертолета вперед; следовательно, крейсерский вертолет летит «носом вниз» в горизонтальном полете.

Астрономия

Центр масс играет важную роль в астрономии и астрофизике, где его обычно называют барицентром .Барицентр — это точка между двумя объектами, где они уравновешивают друг друга; это центр масс, в котором два или более небесных тела вращаются вокруг друг друга. Когда луна вращается вокруг планеты или планета вращается вокруг звезды, оба тела фактически вращаются вокруг точки, которая находится вдали от центра основного (большего) тела. Например, Луна вращается не вокруг точного центра Земли, а вокруг точки на линии между центром Земли и Луной, примерно на 1710 км (1062 мили) ниже поверхности Земли, где их массы уравновешиваются. .Это точка, вокруг которой вращаются Земля и Луна, когда они движутся вокруг Солнца. Если массы более похожи, например, Плутон и Харон, барицентр окажется вне обоих тел.