Как выбрать хороший эллиптический тренажер для дома?
По степени эффективности эллиптические тренажеры для дома можно сравнить с беговыми дорожками. Чтобы еще раз убедиться — посмотрите отзывы, эллиптический тренажер для дома – отличное средство, чтобы привести в тонус мышцы и повысить выносливость.
Как выбрать эллипсоид для дома? Существуют важные характеристики, на которые стоит обратить внимание.
Складная конструкция
Существуют складные конструкции. С одной стороны, это удобно – эллипсоид можно будет убирать, когда он не востребован. Однако лучше всего купить обычный, поскольку каждый раз складывать и раскладывать будет довольно проблематично.
Длина шага эллиптического тренажера
Правильное положение тренирующегося зависит от длины шага, а она зависит от роста. Стандарт — 40 см для роста 180 см. Человек ростом 190 см и выше на тренажере с маленьким шагом будет чувствовать дискомфорт и неполноценно нагружать свои мышцы. При подборе эллипсоида для всей семьи воспользуйтесь таблицей и ориентируйтесь на самого высокого человека.
| Рост, см | ниже 160 | 160-169 | 170-179 | 180-189 | 190-199 | 200 и выше |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Длина шага, см | до 33 | 33-36 | 36-40 | 40-43 | 43-46 | 46 и выше |
Количество программ
Тренажеры для дома эллиптические предусматривают определенное количество программ и уровней нагрузки. Чем их больше, тем больше шансов, что из предложенного списка вы подберете то, что нужно для вашей тренировки.
Система нагружения: механическая, магнитная или электромагнитная
Механический эллипсоид для нагрузки использует ремень вокруг маховика, в магнитном используется для нагрузки воздействие магнитов на маховик (за счет этого ход более плавный и бесшумный). Они просты и понятны в эксплуатации и удобны. Магнитные эллипсоиды могут содержать встроенные программы тренировок.
Электромагнитный эллипсоид – тренажер для дома, который обладает максимальной плавностью хода при практически бесшумной работе. Они имеют много регулируемых уровней нагрузки и разнообразные встроенные программы. Такая конструкция более долговечна, т.к. имеет минимум движущихся деталей.
Допустимый вес пользователя
Эллиптические домашние тренажеры имеют разный допустимый вес пользователя. Выбирая тренажер, который в дальнейшем будет использовать вся семья, ориентироваться необходимо на самого крупного человека, иначе его запросто можно вывести из строя.
Место, где будет стоять тренажер
Где купить эллиптический тренажер в Екатеринбурге?
Вы решили купить эллиптический тренажер для дома? Это отличная идея! В нашем магазине представлены тренажеры марок Hasttings, Spirit, Carbon, Dender, K-Power, Oxygen и Intensor. Мы предлагаем вам эллипсоиды для дома, которые отвечают интересам пользователей и делают домашние тренировки приятными, необременительными и результативными.
Купить эллиптический тренажер Вы можете в нашем интернет-магазине.
По Екатеринбургу, Челябинску, Тюмени, Новосибирску и Уфе в пределах города действует бесплатная доставка.
Как правильно выбрать эллиптический тренажер. Рейтинг эллипсоидов
Как правильно выбрать эллиптический тренажерСреди современных тренажеров, самыми эффективными и результативными являются эллиптические, благодаря которым можно:
- Снизить вес;
- Развить все группы мышц;
- Нормализовать сердечно-сосудистую и дыхательную системы.
Чтобы подобрать устройство, которое принесет максимальную пользу, необходимо уделить внимание особенностям конструкций и другим факторам, так как далеко не каждый производитель может предложить потребителю качественный аппарат.
Исходя из этого, следует уметь разбираться в технических характеристиках моделей.
Осуществление выбора тренажера
Выбирать эллиптические тренажеры следует исходя из определенных критериев. Они зависят от:
- Количества человек, которые будут тренироваться;
- Веса человека, пользующегося устройством;
- Места расположения маховика;
- Функциональности конструкции: простой, или с различными возможностями;
- Вида регулировки нагрузки;
- Размера площади, который может быть выделен для установки тренажера;
- Необходимости наличия контроля ударов пульса.
Выбирая тренажер для всех членов семьи, нужно обратить внимание на то, может ли регулироваться длина шага. Это очень важно, так как не каждый будет комфортно себя чувствовать в процессе тренировки, если не предоставлена такая возможность.
Для каждого тренажера существует допустимый вес человека, который может свободно на нем заниматься. Поэтому выбирать конструкцию нужно, исходя из максимальных пределов веса тренирующегося.
Особенности приводов тренажера
Исходя из места расположения маховика, эллиптические тренажеры выпускаются задне- и переднеприводными. Что касается моделей с передним приводом, то расположение человека на нем будет вертикальное. У заднеприводных конструкций тренирующийся будет вынужден наклоняться вперед, что не очень удобно людям с высоким ростом.
Какой выбрать аппарат: «умный» или простой
Благодаря современным технологическим разработкам, существует возможность устанавливать на тренажерах различную электронику, высокоточные датчики и наделять конструкции многими функциями. Некоторые устройства могут измерить пульс во время тренировки, оценить в каком состоянии находится организм и как физически подготовлен человек. Исходя из этого, могут быть даны определенные рекомендации, касающиеся выбранных нагрузок. Выбирать, необходимы ли такие функции, следует самостоятельно.
Типы регулировки нагрузок
Эллиптические тренажеры бывают магнитными, механическими и электромагнитными;
- Регулировка нагрузки у магнитных эллиптических тренажеров происходит при задействовании кнопок, которые находятся на панели управления. Данные конструкции отличаются низким уровнем шума, плавностью во время работы, средней стоимостью;
- Для механического эллипсоидного тренажера регулировка нагрузки осуществляется вручную. Они издают шум во время эксплуатации и не очень плавны в работе. Среди всех видов, данные устройства являются самыми дешевыми;
- Электромагнитные конструкции представляют собой наиболее дорогостоящие конструкции. Они обладают плавными регулировками, высоким качеством изготовления, бесшумностью и долговечностью.
Чтобы занятия на тренажере были эффективны, необходимо наличие достаточного количества свободной площади. Это необходимо так же учитывать, выбирая тренажер.
Рейтинг эллиптических тренажеров по цене на 2015 год:
- Эллиптический тренажер коммерческий Cybex 771AT — цена 1 119 60000 р.
- Эллиптический эргометр Matrix A7XI (серый) 1 049 89000 р
- Эллиптический тренажер коммерческий Cybex 626AT 1 015 98000 р.
Как выбрать эллиптический тренажер для дома, правильный выбор эллипсоида
Эллиптический тренажер, он же эллипс или эллипсоид – один из самых безопасных, удобных и эффективных кардиотренажеров.
Тренировки на нем заставляют работать все группы мышц, а эффективность при этом также высока, как во время занятий на беговой дорожке. Упражнения на эллипсоиде помогают эффективно сжигать калории и следить за фигурой. Кроме того, эллиптические тренажеры универсальны и подходят людям практически любого возраста, что делает их отличным выбором для домашнего использования.
Как работает эллипсоид
Конструкция эллипсоида состоит из рамы с двумя педалями, одной подвижной и одной неподвижной парами рукояток. Во время движения педали перемещаются по эллиптической траектории, благодаря чему тренажер и получил свое название. Пользователь при этом может держаться за неподвижные ручки или включать в работу руки, держась за подвижную пару рукояток. Таким образом, конструкция совмещает в себе полезные качества степпера, беговой дорожки и лыжного тренажера. У большинства современных моделей есть возможность регулировки нагрузки.
Какая польза от эллиптического тренажера
Эллипсоиды создавались как тренажеры, имитирующие ходьбу и бег, но без перенапряжения суставов. По этой причине они почти не имеют противопоказаний. Такое оборудование часто задействуют в программах реабилитации после болезней и травм. Поскольку эллипсы относятся к классу кардиотренажеров, занятия на них положительно влияют на сердечно-сосудистую и дыхательную системы.
Во время занятий задействуются и эффективно развиваются мышцы верхней и нижней частей тела:
- Благодаря движению педалей по овальной траектории хорошо тренируются икроножные и бедренные группы мышц. Коленные суставы подвергаются минимальной нагрузке, а вероятность растяжения или получения других травм минимальна.
- При обратном движении педалей прорабатываются ягодичные мышцы, включаются в работу сухожилия. На других тренажерах добиться подобного эффекта нельзя.
- При использовании подвижных ручек развиваются грудные мышцы, бицепс, трицепс и мышцы спины.
- Удерживание тела на весу в вертикальном положении вызывает умеренное напряжение всех групп мышц, в том числе пассивных.
Постоянные занятия на эллипсоиде – один из самых удобных и комфортных способов похудения. В зависимости от уровня нагрузки за час тренировок сжигается от 500 до 700 калорий. Чтобы добиться эффективного результата, достаточно заниматься по полчаса 3-4 раза в неделю, и первые результаты не заставят себя ждать уже после 6-7 тренировок.
Преимущества и недостатки эллиптических тренажеров
Преимущества
- Эллипсоиды многофункциональны и позволяют прорабатывать за одну тренировку большое количество мышц.
- Благодаря невысокому уровню нагрузки тренажер хорошо подходит пожилым людям для поддержания хорошей физической формы.
- Пользователи любого возраста могут использовать эллипсоид для похудения.
- Эллипс очень эффективен даже при регулярных непродолжительных тренировках.
- Во многих моделях есть возможность выбирать режим работы, благодаря чему появляется возможность составлять эффективные программы для долгосрочных занятий.
Недостатки
- Стоимость эллипсоида в среднем чуть выше, чем у других кардиотренажеров
- Требует много свободного места для установки
Виды тренажёров по способу нагрузки
Функциональные возможности эллипсоида во многом определяются системой нагрузки, использованной в основе конструкции. Различают 4 основных вида тренажеров в зависимости от реализованного способа нагрузки.
Механические – приводятся в движение за счет собственного усилия пользователя. Это самая простая и недорогая разновидность. Механические эллипсы не занимают много места, просты в использовании, легки, не требуют подключения к электросети, сложного технического обслуживания и дорогого ремонта. Нагрузка регулируется специальной ручкой.
Некоторые модели имеют складную конструкцию. Минусы: нет плавного хода, отсутствует возможность выбирать режимы работы и менять нагрузку прямо во время тренировки, появляется шум во время вращения педалей, со временем изнашиваются маховик и тормозные колодки.
Магнитные – конструкции, в которых нагрузка создается за счет приближения магнитных колодок к поверхности маховика. В таких тренажерах нагрузку можно менять прямо во время тренировки (около 8 уровней). Магнитные эллипсоиды часто дополняются электронным блоком управления. Тренажер питается от электросети или аккумуляторов. Модели с магнитным типом регулировки компактны, относительно недорого стоят, не шумят во время работы и оборудованы более совершенной системой торможения. Такие модели являются лучшим выбором для тех, кто только начинает тренироваться.
Электромагнитные – тренажеры, в которых нагрузка также создается магнитными колодками. Разница в том, что при таком исполнении колодки остаются неподвижными, регулировка достигается за счет изменения электромагнитного поля. Это более дорогостоящий вариант, но зато позволяет регулировать нагрузку в очень широком диапазоне и очень точно контролировать подвижные системы. Электромагнитные эллипсоиды многофункциональны, оснащаются компьютерами и позволяют выбирать различные режимы тренировок, количество которых может насчитывать несколько десятков. В некоторых моделях предусмотрены пульсозависимые режимы работы. Электромагнитные эллипсоиды удобны и бесшумны, но стоят дороже остальных, занимают много места и требуют подключения к электросети.
Аэромагнитные – тренажеры, конструкция которых дополняется электрогенератором. Генератор получает энергию от вращения маховика. Полученного заряда хватает для работы компьютера и электромагнитов, регулирующих нагрузку. В случае долгого простоя аккумулятор заряжается от сетевого адаптера.
Аэромагнитные эллипсоиды обладают большей частью преимуществ моделей электромагнитного типа, но довольно дорого стоят.
Расположение маховика
Удобство и функциональность тренажера зависят не только от реализованной системы нагрузки, но и от расположения маховика. Классикой эллипсоидов являются системы с задним расположением маховика. Они появились раньше остальных и заслужили популярность благодаря невысокой стоимости. Поскольку трансмиссия расположена сзади, траектория движения формируется с некоторым наклоном вперед, что не всегда удобно для пользователей с высоким ростом.
Тренажеры с передним расположением маховика появились относительно недавно. Такие конструкции не обязывают наклоняться и вперед и удобны для пользователей любого роста.
Изредка в продаже можно встретить тренажеры, у которых маховик расположен в средней части рамы. Они выигрывают в размерах, но стоят дороже заднеприводных и переднеприводных систем.
Выбор той или иной конструкции в конечном счете прямо зависит от личных предпочтений. Прежде, чем остановиться на каком-то варианте, лучше попробовать потренироваться в спортивном зале на моделях разного типа и только после этого принимать окончательное решение.
Как выбрать эллиптический тренажер для дома
При выборе модели для домашнего пользования недостаточно просто иметь представление о том, какими бывают эллипсоиды и как они работают. Есть несколько ключевых характеристик на которые важно обращать внимание, поскольку от этого будет прямо зависеть удобство и эффективность последующих занятий.
Длина шага
Длиной шага называют расстояние между начальной и конечно точкой движения педали. От этой характеристики зависит то, насколько комфортной и правильной будет амплитуда шага во время движения. Неправильно подобранная длина может привести к тому, что нагрузка на мышцы будет распределяться неравномерно.
В лучшем случае не удастся достичь нужного результата, в худшем – тренировки станут приводить к переутомлению и болям.
Длина шага тренажера подбирается прямо пропорционально росту пользователя. Для спортсменов с ростом до 180 сантиметров хорошо подходят тренажеры с шагом от 33 до 40 сантиметров. Для тех, чей рост более 180 сантиметров, лучшим выбором станут модели с длиной шага более 40 сантиметров. Чтобы ориентироваться было удобнее, пользуйтесь таблицей, приведенной ниже.
|
Рост, см |
Минимальная длина шага, см |
Оптимальная длина шага, см |
|
190 и более |
50 |
53 |
|
185-190 |
42 |
44-45 |
|
180-185 |
40 |
40-41 |
|
175-180 |
37 |
39-41 |
|
170-175 |
36 |
37-38 |
|
165-170 |
35 |
35 |
|
160-165 |
33 |
34 |
|
155-160 |
33 |
33-35 |
|
155 и менее |
30 |
33 |
Q-фактор (ширина шага)
Шириной шага или Q-фактором называют расстояние между педалями.
Чем ближе ширина шага к естественному положению ног пользователя, тем лучше. Неправильно подобранное расстояние приведет к перенапряжению мышц тазобедренного сустава во время занятий.
Ширина шага у различных моделей может составлять от 2-3 сантиметров до 25. Оптимальное расстояние определяется ростом и индивидуальными особенностями каждого пользователя, но чаще всего наиболее комфортным является расстояние от 8 до 10 сантиметров.
Максимальный вес пользователя
В характеристиках эллипсоидов часто указывается максимально допустимый вес пользователя и рекомендуемый. Ориентироваться лучше на рекомендуемый. Если тренажером будет пользоваться несколько человек, выбирать стоит модель, у которой максимально допустимый вес больше на 10-15 килограммов, чем у самого тяжелого спортсмена. Запас необходим для того, чтобы износ конструкции во время тренировок был минимальным.
Вес маховика
От веса маховика зависит инерционный момент и плавность хода педалей в эллиптическом тренажере. Легкими считаются конструкции, у которых маховик весит 7-10 килограммов. При таком исполнении движение педалей может сопровождаться значительными инерционными перепадами. Чтобы этого избежать, лучше выбирать модели с весом маховика более 11 килограммов. Тем не менее, стоит помнить, что все важные подвижные части производители всегда подбирают в соответствии с общим весом и габаритами всего тренажера.
Габариты и вес эллипсоида
От габаритов и веса тренажера прямо зависит его устойчивость и комфорт тренировок. Массивные и тяжелые конструкции более устойчивы, не подвержены раскачиванию, более удобны и безопасны. В тоже время, дома не всегда есть возможность разместить большой эллипсоид. Выбирать модель для дома нужно с оглядкой на свободное пространство в комнате, но стоит помнить и о том, что самые легкие и компактные конструкции – не всегда самые лучшие.
Наклон педалей
Тренажеры с регулируемым наклоном педалей более функциональны и позволяют прорабатывать различные группы мышц во время тренировок. Например, наклон вперед помогает способствует лучшей тренировке мышц нижних конечностей. У моделей с регулируемым наклоном больший выбор режимов и встроенных программ тренировок.
Способ регулировки нагрузки
Способ регулировки нагрузки в эллиптическом тренажере может быть ступенчатым или плавным.
- Ступенчатый способ чаще всего предполагает от 4 до 12 фиксированных уровней нагрузки. Чем больше ступеней регулировки предусмотрено, тем проще найти и выставить комфортный уровень.
- Плавная регулировка более предпочтительна и более удобна, поскольку позволяет выставить любое желаемое значение в широком диапазоне значений. Плавная регулировка нагрузки часто предполагает и богатый выбор встроенных программ.
Программы тренировок
Программы тренировок обычно призваны автоматически регулировать нагрузку прямо во время занятий. Например, тренажеры со встроенным кардиодатчиком способны отслеживать пульс спортсмена и подстраивать уровень нагрузки для достижения максимальной эффективности на разных этапах выполнения упражнений. Есть программы, работающие по заданному пользователем графику, есть режимы, включающие дополнительную нагрузку в последние минуты тренировок. Чем больше программ и чем разнообразнее функционал, тем удобнее эллиптический тренажер, однако пропорционально возрастает и стоимость.
Как заниматься на эллипсоиде
Несмотря на то, что упражнения на эллипсоиде не предполагают слишком высоких нагрузок, приступая к тренировкам обязательно следует посоветоваться с врачом и выяснить, нет ли противопоказаний. Заниматься следует за несколько часов до сна и минимум через 2 часа после еды. Каждый сеанс работы должен сопровождаться предварительной разминкой.
Одежда и обувь не должны стеснять движений.
Перед началом тренировок следует сформулировать цель и разработать программу занятий. Новичкам рекомендуют регулярные занятия 3-4 раза в неделю с продолжительностью по 20 минут в комфортном темпе и с небольшим уровнем нагрузки. Через неделю можно начинать повышать интенсивность и длительность упражнений. Когда обычный темп станет привычен, можно использовать программы, чередующие периоды высокой нагрузки со щадящими.
Тренировки для похудения предполагают чередование упражнений с умеренной интенсивностью и упражнений с максимальной интенсивностью. Длительность интенсивных и умеренных интервалов можно корректировать самостоятельно.
Тренировки для увеличения выносливости можно проводить в виде длительных сессий до 1 часа с равномерной нагрузкой либо в виде интервальных упражнений, когда небольшие периоды высокой нагрузки по 30-60 секунд чередуются с периодами умеренных усилий по 60-120 секунд.
Заключение
В заключении коротко подведём итоги и ещё раз сформулируем основные принципы выбора эллипсоида.
- Для домашнего использования хорошим выбором станет тренажёр с магнитной системой нагрузки. Это лучший вариант и для тех, кто только начинает тренироваться. Тренажёры с электромагнитной системой обладают большим выбором режимов и предустановленных программ, но стоят дороже и требуют больше места.
- У эллиптических тренажёров с задним расположением маховика траектория движения формируется с наклоном вперед, что может быть неудобно для людей с высоким ростом. Эллипсоиды с передним расположением маховика подходят для пользователей любого роста.
- Эллипсоид для домашних тренировок выбирается в зависимости от роста пользователя, комфортных длины и ширины шага.
- Максимально допустимая нагрузка тренажёра должна быть больше на 10-15 кг, чем вес самого тяжёлого пользователя.
- Для длительных тренировок лучше выбирать модели с регулируемым наклоном педалей.
Вот примерно и всё, что необходимо знать, выбирая эллиптический тренажёр. Надеемся наши советы, помогли вам лучше разобраться в теме и сделать правильный выбор.
Поделиться
Как выбрать эллиптический тренажер и заниматься на нем?
Эллиптический тренажер помогает укрепить мышцы, а также снизить вес. Такие тренажеры в Минске покупаются как для размещения в фитнес-центрах, так и для домашнего использования. В статье мы расскажем об этом оборудовании и выясним, как выбрать эллиптический тренажер.
Характеристики тренажеров
Эллипсоид, который по-другому называют орбитрек, сочетает преимущества беговой дорожки и велотренажера. Спортивное оборудование позволяет тренироваться эффективно и разнообразно, в результате происходит снижение массы тела, повышение выносливости и укрепление мышц.
Орбитрек относится к группе кардиотренажеров, которые помогают улучшить состояние сердечно-сосудистой системы. При этом тренировка на эллипсоиде прорабатывает мышцы бедер, ягодиц, спины и плечевого пояса. Устройство эллипсоида позволяет избежать слишком сильных нагрузок. На нем могут заниматься тучные люди, которые хотят привести себя в форму, так как оборудование выдерживает вес до 120-150 килограмм.
Почему тренажер называется эллиптическим?
Движение педалей осуществляется по эллипсу, от чего и происходит название тренажера. Такая конструкция обеспечивает плавность хода, помогает значительно сократить нагрузку на позвоночник и суставы, снизить риск травм. Возможность движения вперед и назад гарантирует эффективность воздействия на различные группы мышц.
Выбираем тренажер для дома
Компактные размеры орбитрека позволяют использовать его для домашних тренировок. Однако перед теми, кто решил купить такое спортивное оборудование, встает вопрос, как выбрать эллиптический тренажер. Прежде всего необходимо обратить внимание на длину шага. Так, тренажер с показателем 50 сантиметров подойдет людям любого роста, а вот длина в 35 сантиметров не обеспечит должного комфорта во время занятий высоким людям.
Существует несколько видов эллипсоидов:
- Механические орбитреки считаются более доступными и простыми. Такие модели могут издавать скрипы, так как конструкция не обладает достаточной плавностью движений. Тренажеры отличаются компактным размером, легким весом и доступной стоимостью.
- Магнитные модели характеризуются плавностью хода, отсутствием неприятного шума во время занятий и возможностью выбора степени нагрузки.
- Электромагнитные орбитреки являются самыми современными и комфортными для использования моделями. Тренажер поддерживает множество функций, компьютер может самостоятельно определять нагрузку, а система торможения не зависит от вращения педалей.
Тренировка мышц
Занятия на орбитреке подобно скольжению на лыжах тренируют мышцы верхней и нижней части тела. Возможность ходьбы назад позволяет нагрузить группы мышц, которые просто недоступны для других тренажеров. Эллипсоид способствует тренировке таких проблемных зон, как ягодицы и бедра. При этом еще одним поводом выбрать эллиптический тренажер будет возможность прорабатывать плечевой пояс.
Занятия на эллипсоиде
Чтобы подтянуть мышцы, необходимо заниматься не менее 30 минут в день 3-4 раза в неделю. Тренироваться следует минимум через 2 часа после приема пищи и примерно за 2 часа до сна. Начинать необходимо с минимального уровня нагрузки, постепенно ее увеличивая. Во время занятий нужно ровно держать спину и следить за дыханием. Перед тренировкой необходимо выполнить разминку, что позволит избежать травм и растяжений.
Теперь вы знаете, почему стоить выбрать эллиптический тренажер, ведь они пользуются большой популярностью благодаря своей эффективности и универсальности. Орбитрек подходит для тех, кто мечтает сбросить пару килограмм, следит за своим здоровьем и любит интенсивные тренировки. Купить тренажеры в Минске поможет каталог TAM.BY: изучайте специальные предложения компаний, чтобы сделать покупку выгодной!
критерии выбора и обзор лучших моделей
Сегодня модно быть в форме.
Но времени на посещение тренажёрных залов всё меньше, а негативного воздействия на организм всё больше. И разорвать этот замкнутый круг поможет эллиптический тренажёр (эллипсоид или орбитрек) – новое слово в системе эффективного сжигания лишних калорий. Он не занимает много места, поэтому его можно купить и заниматься у себя дома. Давайте разберёмся, как правильно выбрать такой тренажёр.
Что такое эллипсоид и для чего он нужен
Это интересно. Эллипсоиды были запатентованы в 2004 году компанией Precor. «Отцом» орбитрека стал Ларри Миллер, вдохновлённый своей дочерью на создание универсального тренажёра. А точнее, движениями её ног, когда девочка бежала за машиной родителя. Миллер решил создать приспособление, позволяющее повторять естественные движения конечностей при ходьбе или беге. Так появился эллиптический тренажёр.
О пользе езды на двухколёсном велосипеде и занятий бегом трусцой для здоровья знают все. А вот о том, что в основе действия тренажёра как раз таки и лежат два этих принципа движения — не многие. Эллипсоид позволяет имитировать бег или ходьбу благодаря движению ног по овальной траектории. Нагрузку на мышцы ног и всего тела можно сравнить с ездой на двухколёсном велосипеде или катании на лыжах. При этом руки выполняют движения, характерные для гребли, так что одновременно с ногами и спиной идёт прокачка рук и груди.
Эллиптический тренажёр даёт нагрузку на органы дыхания, сердечно-сосудистую систему и целый ряд групп мышц
Физические нагрузки на тело провоцируют сжигание жиров, а соответственно, приводят к похудению. Если вы — частый гость спортивных залов, то точно знаете, что самым опасным в тренировках является уязвимость голеней и коленей. Так вот: орбитрек снижает с них нагрузку, а значит, сводит к минимуму травмоопасность. Согласитесь, достойные доводы для того, чтобы решиться на покупку отличного тренажёра для дома. Но перед этим стоит прояснить некоторые нюансы.
Виды эллиптических тренажёров
Существует 5 видов эллиптических тренажёров. Различия между ними заключаются в принципе действия и цене.
Механические
Тренажёр приводит в движение занимающийся на нём человек. Преимуществом этого вида приспособлений считается его лёгкость, что позволяет разместить эллипсоид в любом месте комнаты. Кроме того, производители предлагают складные модели, которые отлично помещаются в шкаф. Стоит отметить, правда, что на сегодняшний день эти довольно дешёвые эллипсоиды не столь востребованы, так как они не могут обеспечить нужную плавность движений в процессе тренировки.
Механические эллипсоиды благодаря своей компактности не займут много места даже в маленькой квартире
Магнитно-механические
Эти модели оснащены тормозящими магнитами, которые необходимы для регулировки нагрузок в процессе тренировки. Сила воздействия движения эллипсоида определяется расстоянием между маховиком и магнитом. Среди преимуществ магнитно-механического тренажёра можно выделить компактность, относительно невысокую стоимость, а также плавное изменение нагрузок. Если вы только начинаете кардиотренировки, лучшего варианта не найти.
Магнитно-механический эллипсоид — идеальный вариант для новичков
Магнитные
Электронная регулировка сопротивления гарантирует бесшумную работу тренажёра. Орбитрек рассчитан на людей, имеющих опыт в каридиотренировках и понимающих, как регулировать нагрузки. Главное преимущество этой модели эллиптического тренажёра — возможность создавать собственные программы тренировок.
Для опытных пользователей на магнитном орбитреке установлена регулировочная панель
Электромагнитные
Очень удобная, хоть и дорогая, модель, которая оснащена эргометром — прибором, определяющим физические характеристики человека и проектирующим индивидуальную программу нагрузки. Производители оправдывают высокую цену на тренажёр ещё и тем, что он работает практически бесшумно, предлагает возможность изменять угол наклона педалей, а также имеет встроенный компьютер с уже установленными 25 программами-тренировками.
Эргометр на электромагнитном орбитреке разрабатывает индивидуальную программу тренировки специально для вас
Аэромагнитные
Это новое слово в разработках тренажёров для физических упражнений. Ему не нужна электросеть (только если для зарядки). Контролируется такой эллипсоид магнитом с электронной регулировкой. За счёт роликов и ремней тренажёр очень плавно двигается, а вращаться может значительно быстрее в сравнении с остальными моделями.
Аэромагнитный эллипсоид отличается плавностью движений
Параметры выбора
Единых рекомендаций о том, какой эллипсоид лучше, нет, тренажёр подбирается индивидуально, и начинать нужно с удобства подставки для ног
Как уже было сказано, магнитно-механический вариант идеален для новичков, а вот для тех, кто занимается фитнесом регулярно, можно порекомендовать электромагнитный орбитрек. Как и все модели, запитывающиеся от сети, такие эллипсоиды:
- бесшумно работают;
- регулируют нагрузки;
- контролируют результаты каждой тренировки.
Специалисты в области фитнеса рекомендуют при выборе эллипсоида учитывать 6 параметров.
Количество людей, использующих тренажёр
В связи с тем, что эллипсоиды обычно покупаются для пользования всей семьёй, тренажёр должен учитывать необходимость измерения длины шага и распределения нагрузки. Для тех, кто занимается регулярно, важны:
- качественная рама;
- мягкая регулировка;
- возможность регулировать правильность шнурования кроссовок.
Вес и рост человека
Высокие и упитанные поклонники фитнеса довольно ограничены в выборе моделей. Допустимый разрешённый вес можно найти на сайте производителя. Не стоит надеяться, что ваш вес уйдёт моментально — какое-то время подождать и поработать всё же понадобится. И чтобы эллипсоид не сломался от интенсивности вашей работы, выбирать модель нужно с максимально допустимым значением +15 к вашему реальному весу.
То есть при весе 65 кг отметка должна быть 80 кг.
Привод и вес маховика
По расположению маховика тренажёр может быть переднеприводным или заднеприводным. Выбор зависит от того, насколько вам удобна та или иная модель.
- Если привод задний, то маховик будет располагаться между ногами, в связи с чем вам придётся держать туловище в наклоне, как это делают лыжники или бегуны. Модели с задним приводом ориентированы на любой рост, более устойчивы и компактны.
- Переднеприводной эллипсоид удобен для высоких, так как вам придётся держать тело практически вертикально из-за расположения трансмиссии передней части, а значит, колени не будут биться о раму.
- На сегодняшний день в эксплуатацию введены модели с центральным приводом. Они стали короче и ещё более устойчивыми.
Учтите также и вес маховика: чем он тяжелее, тем мягче ход эллиптического тренажёра. Корпулентным людям подойдёт 15 кг, а обладателям среднего веса — 8 кг.
Шаг и угол наклона педалей
Регулировка нагрузки зависит от длины шага и угла, под которым наклонены педали. Стандартная длина — 40 см. На моделях подороже делают шаг в 50 см. Это очень удобно для обладателей роста Дяди Стёпы. А вот тренажёры с шагом в 30 см считаются устаревшими. Что касается угла наклона рычагов, то современные модели оснащены регулятором для его изменения. Это удобно в том случае, если вы регулярно занимаетесь и вам необходимо дать нагрузку на ранее не задействованные группы мышц.
Занимаемое место
Размер и вес орбитреков для дома потрясает своим многообразием, так что выбрать подходящий труда не составит. Обычно тренажёры имеют длину 130 см + 20 см в движении и ширину — 50–65см. Эллипсоид совершенно необязательно крепить к полу. Но если вы выбрали механическую модель, а ваш вес колеблется от среднего в сторону уменьшения, тренажёр может раскачиваться в процессе работы. Так что лучше его прикрутить к полу.
Топ 5 эллипсоидов для дома (таблица)
| Фирма-производитель, модель | Описание модели | Система нагружения | Габариты | Максимальный вес пользователя | Достоинства | Недостатки | Оценка пользователей |
| Dender Omega E-1655 |
| Электронная нагрузка с диапазоном 30–350 ватт. | Длина рамы — 100 см | 120 кг |
| По отзывам пользователей, подходит людям не тяжелее 80 кг. В остальных случаях тренажёр будет раскачиваться. | 3,5 из 5 |
| Deus Orbita KP-280 |
| Магнитная с ручной регулировкой. | 125х59х157 см | 120 кг |
|
| 3,5 из 5 |
| Diadora Circle Cross |
| Магнитная с ручной регулировкой. | 140x59x171 см | 150 кг |
| Отсутствие программ тренировок. | 4,0 из 5 |
| Family VR20 |
| Магнитная с ручной регулировкой. | 130х67х159 см | 130 кг |
| Недостатки не выявлены. | 5 из 5 |
| Svensson Body Labs Comfortline ESM |
| Уникальная патентованная магнитная система нагружения SpinMaster. | 120х56х153 см | 130 кг |
|
| 4,5 из 5 |
Отзывы
Эллиптический тренажёр относится к особой группе товаров, отзывы на которые исключительно положительные. Многие потребители заявляют о том, что в сочетании со сбалансированным питанием результаты появляются уже через пару недель.
Купила 2 года назад себе эллиптический тренажёр DK-Sport. Не жалею вообще, похудела, сейчас стараюсь держать себя в форме, самое главное — это стараться регулярно заниматься.
Инга
http://stroy-telo.com/domashnij-trening/trenazhjory/ellipticheskiy-trenazher.html#h4-rejting-luchshikh-ellipticheskikh-trenazherov
Недавно купила эллиптический тренажёр, меньше двух месяцев. Долго выбирала, читала отзывы, всё-таки не батон хлеба покупаешь, вещь дорогая и надолго берёшь. В результате купили DIADORA CIRCLE CROSS. Как-то он мне приглянулся. Занимаюсь 4–5 раз в неделю примерно по 30 минут.
На сегодняшний день минус 7 кг. Никакую диету не соблюдаю, просто после 6 часов не ем. И ещё после тренировки 1,5 часа не ем, воду пью, её даже надо пить, я так читала. Боялась, что ноги сильно накачаются, но нет, ноги стройней стали и коленки красивей, или мне так кажется? Читала, что не нужно перегружать себя занятиями, просто надо регулярно заниматься. Я так и стараюсь делать. Занимаюсь на самом лёгком уровне, сначала установила большую нагрузку, коленки стали болеть, сделала первый уровень. Нормально, результат, главное, есть. Занятия не напрягают, даже наоборот, нравятся, особенно когда на себя в зеркало смотришь.Анастасия
http://vashfitnes.ru/otzyvy-ob-ellipticheskom-trenazhere.htm
После покупки тренажёра за неделю похудела на 2 килограмма. И это при занятиях продолжительностью в 30 минут. А теперь ещё нашла в интернете специальную программу для занятий. Чудесная штука. Советую всем. Покупайте, не пожалеете.
Алла
http://healthbps.ru/ellipticheskiy-trenazher-otzyivyi-est-li-effekt-dlya-pohudeniya
Выбор эллиптического тренажёра — важное и ответственное дело. Чтобы не прогадать, лучше досконально изучить все нюансы покупки и обязательно провести «тест-драйв» в тренажёрном зале. Так вы сразу поймёте, какой самый удобный. И дело останется за малым: приучить себя регулярно заниматься.
Оцените статью:Поделитесь с друзьями!
Как правильно выбрать эллиптический тренажер для дома
Содержание статьи
Сегодня эллиптические тренажеры (орбитреки, эллипсоиды) имеют несколько разновидностей, которые отличаются комплектацией, что в свою очередь позволяет использовать их как в фитнес-клубах, так и во время домашних тренировок. Чтобы не ошибиться с параметрами модели, следует обязательно разобраться в том, как выбрать эллиптический тренажер для дома.
Почему эллиптический тренажер удобен в домашнем использовании?
При выборе оптимального устройства для занятий спортом в домашних условиях пользователи все чаще останавливаются на орбитреке, игнорируя велотренажеры и беговые дорожки. Причиной тому является уникальное устройство эллипсоида, которое позволяет заниматься на нем даже людям с очень большим весом. Становясь на платформы и взявшись руками за подвижные поручни, тренирующийся приводит в движение тяжелый маховик, который в свою очередь обеспечивает равномерность и плавность упражнений.
Эллипсоидные движения, совершаемые ногами, напоминают ходьбу на лыжах и совмещают в себе свойства бега, езды на велосипеде и спортивной ходьбы. Поэтому орбитрек — это компактный и универсальный заменитель сразу трех разновидностей спортивного оборудования: беговой дорожки, степпера и велотренажера.
Характерная особенность, выделяющая эллипсоид из перечисленных агрегатов – тренировка и укрепление мышц спины и плечевого пояса – стала возможной благодаря поручням, держась за которые, человек имитирует движения лыжника, переставляющего лыжные палки. Это позволяет избавляться за одно занятие от большого количества калорий и делает орбитрек лучшим тренажером для похудения. Систематические упражнения на эллиптическом тренажере:
- помогают избавиться от лишнего веса;
- оказывают благотворное воздействие на сердце, легкие, кровеносные сосуды;
- поддерживают мышцы в тонусе;
- придают бодрость и улучшают настроение.
Разновидности орбитреков
На сегодняшний день существуют следующие виды эллиптических тренажеров:
- Механические – самые простые и доступные модели орбитреков, в которых отсутствуют какие-либо измерительные приборы. Имеют ряд неудобств: неравномерный ход, невозможность регулировки сопротивления тренажера. Сегодня их можно рассматривать разве что в качестве «дачного» варианта.
- Магнитно-механические – более совершенный и современный вариант орбитреков, нагрузка в которых может меняться за счет торможения, создаваемого магнитами. Имеют плавный ход и регулируются вручную, а за счет компактных размеров поместятся даже в малометражную квартиру.
- Магнитные – отличаются от своих более примитивных предшественников наличием компьютерного управления и наличием датчиков, контролирующих частоту пульса.
- Электромагнитные – оптимальный вид орбитреков, тренировки на которых отличаются высоким уровнем продуктивности. Они оснащены несколькими программами, которые позволяют систематизировать занятия в соответствии с требованиями и возможностями организма, а также отображающими длину дистанции и скорость, с которой она пройдена.
- Аэродинамические – тренажеры, совмещающие в себе все плюсы электромагнитных и экономность механических: присутствующий в них генератор заряжает устройство во время занятий. Единственным минусом аэродинамического эллипсоида является его высокая цена.
Имеют плавный ход и регулируются вручную, а за счет компактных размеров поместятся даже в малометражную квартиру.Как правильно выбрать эллиптический тренажер для дома
Еще одна характеристика, на которую нужно обратить внимание при выборе оптимальной модели – расположение привода. По этому признаку различают два вида орбитреков:
- с передним приводом – во время тренировки на этих устройствах тело спортсмена находится в строго горизонтальном положении;
- с задним приводом – эллипсоиды этого вида слегка наклоняют тренирующегося вперед, что позволяет более правдоподобно имитировать бег или ходьбу на лыжах.
Какой из этих разновидностей стоит отдать предпочтение? Узнать об этом можно только опытным путем, «примерив» оба вида орбитреков на себя в магазине спортивного инвентаря.
Эллиптический тренажер – дорогостоящее устройство, и поэтому мелочей в нем нет. Внимательность и скрупулезность, проявленные при его выборе, позволят пользоваться эллипсоидом долгое время с удовольствие и пользой.
Как выбрать эллиптический тренажер: виды, технические характеристики
Эллиптические тренажеры помогают поддерживать мышцы в тонусе, избавиться от лишнего веса и сэкономить деньги на посещение тренажерного зала.
При регулярных занятиях, первые результаты можно заметить уже через 2–3 недели тренировок.
Виды эллиптических тренажеров.
Эффективность занятий на домашних эллиптических тренажерах и срок службы инвентаря зависит от качества комплектующих и соответствия характеристик физическим данным пользователя.
В зависимости от надежности конструкции, максимальной нагрузки и функциональности есть несколько видов эллиптических тренажеров:
· Бытовые. Для профессионального использования такие модели не подойдут из-за ограниченного срока службы. Зато хорошо подходят для поддержания физической формы. Они компактны, легко перемещаются по квартире.
· Профессиональные. Такие устройства чаще устанавливают в спортзалах из-за больших габаритных размеров, значительного веса и многофункциональности. Подходят для интенсивных кардио и силовых тренировок. Оснащены прочной рамой и мощными маховиками.
· Полупрофессиональные. По функциональности и надежности почти не уступают профессиональным моделям, но значительно дешевле и компактнее.
Классифицируются эллипсы по типу и принципу работы:
У механических эллиптических тренажеров маховик вращается за счет усилий, который прикладывает пользователь, нажимая на педали. Для их работы не нужна розетка. Занимают минимум места даже в маленькой комнате, из минусов — сильно шумят и есть вероятность получить травму из-за рывков во время вращения педалей.
Тренажеры с магнитной системой регулировки нагрузки работают гораздо тише, ход педалей плавный. Оснащены экраном, на который выводится информация о дистанции, скорости, количестве потраченных калорий. Нагрузка меняется с помощью механического регулятора, но для настройки необходимо остановить тренировку, переключить режим. Минусы – колодки изнашиваются достаточно быстро и для работы эллипса нужна розетка или источник питания.
В электромагнитных эллипсоидах нагрузка меняется за счет уменьшение или увеличения силы тока в электромагнитах. Плавный ход, надежность конструкции, плавное и точное переключение режимов, все эти плюсы оправдывают высокую цену электромагнитных эллиптических тренажеров. Обычно оснащены 16–18 программами, включая пульсозависимые. Так же их отличает высокая эффективность тренировок.
Аэромагнитные орбитреки относят к профессиональному классу – встроенный вентилятор охлаждает электромагниты, за этот счет снижается износ, увеличивается срок службы. Такие тренажеры имеют плавность вращения педалей и низкий уровень шума. Данные модели могут работать как от встроенного генератора, так и от сети.
Важные технические особенности.
Перед покупкой определитесь со следующими параметрами:
1. Длина шага.
При выборе эллиптического тренажера длина шага – ключевая характеристика, от которой зависит эффективность тренировки и комфорт пользователя. Подбирать модель по этому параметру необходимо с учетом роста и индивидуальных потребностей. Изделия с длиной шага 50 см самые универсальные – подойдут для пользователей от 155 до 190 см, 40 и 30 см удобны для женщин, подростков невысокого роста. Если тренажер выбран правильно, ноги будут оставаться прямыми в любом положении.
2. Максимальный вес пользователя.
Чтобы эллипс работал без сбоев и поломок минимум до конца срока службы, перед тем, как выбрать тренажер, определите максимальную нагрузку, которую может выдержать устройство. Превышение рекомендуемого веса пользователя станет причиной выхода из строя, а в некоторых случаях и травмы. Подбирать модель нужно с запасом прочности. Для этого необходимо к весу пользователя прибавить 15–20 кг.
3. Вес маховика.
От веса маховика зависит качество тренировки, безопасность и мощность нагрузки.
Если на эллипсе установлен маховик весом от 7 до 11 кг, педали плавно вращать не получится, а рывки могут стать причиной травмы, высокой нагрузки или падения. В идеальном варианте, сопротивление плавно увеличивается при наборе скорости. Выбирайте устройство с маховиком весом не менее 11 кг, это гарантирует плавность вращения, устойчивость и хорошие результаты.
4. Функциональность
У некоторых моделей эллиптических тренажеров можно отрегулировать угол наклона и ширину шага, а также угол наклона педалей. Данная функция пригодится, если вы выбираете тренажер для всей семьи. Но переплачивать за такие возможности не следует, когда эллипс нужен только для личных тренировок.
Для бегунов и альпинистов, которые хотят поддерживать форму и тонус определенных групп мышц, необходима рама, у которой есть возможность менять угол наклона для имитации подъема в гору. Для пользователей после травмы или с заболеваниями суставов данные модели противопоказаны.
Для контроля физического состояние и подбора программ тренировок удобно пользоваться дисплеем бортового компьютера. При наличии пульсометра на руле или подвижных рукоятках на экране будет отображаться не только скорость, пройденная дистанция, расход калорий, но и пульс.
5. Встроенные программы для тренировок.
На профессиональных и полупрофессиональных эллиптических тренажерах есть возможность выбрать одну из предустановленных программ для повышения эффективности и разумного распределения нагрузки. Одни режимы работают по заданному графику, другие – в автоматическом режиме корректируются в зависимости от пульса. Пульсозависимые программы рассчитаны на интервальные тренировки, когда, например, 3-4 минуты необходимо вращать педали плавно и размеренно, а следующие 5 минут приходится вращать педали в ускоренном режиме. При такой тренировке мышцы разогреваются лучше, быстрее уходит лишний вес.
6.
Складная конструкция.
Перед покупкой эллипса оцените размеры основания и выберите подходящее место для установки. Минус компактных и легких конструкций – плохая устойчивость. Во время использования такого тренажера рама может раскачиваться из-за повышенной нагрузки и скорости. Выходом из подобной ситуации может стать приобретение складного тренажера с передним приводом. Для хранения его можно убрать в кладовку, на балкон или за дверь. Минус – складные конструкции менее надежны.
7. Расположение маховика.
Маховик на тренажере может быть установлен как спереди, так и сзади, либо на середине основания между педалей. В первом случае модели называются переднеприводными, во втором – заднеприводными. Самые редкие эллипсоиды – с центральным расположением маховика. На тренажерах для домашнего использования привод устанавливают сзади. Они меньше по размерам, но из-за большого расстояния между педалями (20 см) не подходят для спортсменов невысокого роста. Во время тренировки спортсмену придется наклонять тело, из-за чего увеличится нагрузка, но в то же время повысится и эффективность. Удобнее всего заниматься на моделях с передним приводом – расстояние между педалями меньше, длина шага больше. Идеальны для пользователей среднего и высокого роста.
8. Q-фактор.
Для того чтобы результат был лучше, а ноги пользователя всегда стояли в правильном положении, нужно выбирать тренажеры с Q-фактором или межпедальным расстоянием менее 10 см. Такой показатель обычно у моделей с передним приводом.
9. Bluetooth.
При наличии встроенного адаптера устройство можно синхронизировать со смартфоном для отслеживания и анализа эффективности занятий. К некоторым моделям можно купить беспроводные пояса с пульсометром. А самые многофункциональные тренажеры умеют воспроизводить музыку с телефона, MP3-плеера или планшета.
10.
Комплектация.
Некоторые модели комплектуются держателем для бутылки, стакана, книги или планшета, защитным ковриком. Полка для планшета или книги поможет совместить чтение, просмотр фильма и т.д., с тренировкой. Держатель для бутылки нужен, чтобы не тратить время и не отвлекаться от программы тренировки на утоление жажды. Коврик обычно изготовлен из нескользящего материала, он защищает напольное покрытие от появления царапин. Предотвращает скольжение, поглощает звуки, делает тренировку бесшумной.
Эффективен ли эллиптический тренажер для похудения?
Для снижения массы тела фитнес-тренеры предлагают использовать интервальную схему тренировки. Каждые 3–5 минут или 4–6 подходов выполняется новое упражнение с различной интенсивностью для разных групп мышцы. На таком принципе работают самые продвинутые кардиотренажеры, включая эллипсоид – автоматические программы самостоятельно подбирают нужный режим, периодичность и нагрузку.
Эффективность для похудения эллиптических тренажеров доказана многими докторами, диетологами и тренерами. Орбитрек — быстрый путь к подтянутым мышцам, тонусу и безопасному похудению. Тренировка на эллипсе вовлекает в работу большое количество мышц: плечи, руки, грудь, спину, косые мышцы пресса и мышцы ног. Результат зависит от продолжительности, регулярности и эффективности тренировок.
Результат зависит от продолжительности, регулярности и эффективности тренировок. Для достижения поставленных целей так же необходимо скорректировать питание и потребляемые калории.
Для того чтобы правильно выбрать тренажер, ориентируйтесь на вес, рост пользователя, уровень физической подготовки и функции эллипсоида.
Тренируйтесь с удовольствием, упорно идите к поставленным целям! В этом Вам поможет эллиптический тренажер.
Многомерный анализ— выберите эллипсоидное облако данных, «эквивалентное» сферическому облаку данных
Каковы будут ваши соображения , когда вам нужно реализовать интуитивно простую, но медитативно разнообразную идею для создания облака данных, которое «совпадает» с этим облаком данных, только не сферической формы, нравится, а это эллипсоид (а может просто сфероид)?
Ибо может быть не один эллипсоид-кандидат, каждый из которых «эквивалентен» сфере в каком-то одном, но не во всех аспектах.
2 $.2 \ около 2 $.
Многомерная сумма основного долга ул. отклонения (сумма сингулярных значений): $ r_1 + r_2 $. В ellipse1 это $ 2 + 0,5 = 2,5 $, что больше, чем $ 2 $, у сферы. Мы должны уменьшить размер ellipse1 на 0,8 $ (менее $ k = 4 $), чтобы получить данные ellipse3 с тем же общим значением st. отклонение как сферическое: $ (2 \ cdot .8) + (. 5 \ cdot .8) = 2 $.
Окружность облака (площадь поверхности) : $ 2 \ pi r $ для круга и (хорошая приближенная формула) $ \ pi [3 (r_1 + r_2) — \ sqrt {(3r_1 + r_2) (r_1 + 3r_2)}] $ для эллипса.Это составляет $ 2.730 \ pi $ в эллипсе1, больше, чем $ 2 \ pi $, у сферы. Мы должны уменьшить размер ellipse1 примерно на 0,733 $ (при $ k = 4 $), чтобы получить данные ellipse4 с такой же общей поверхностью, что и у сферикала.
Итак, у нас есть 4 эллиптических облака данных одинаковой формы, но разного размера, каждое из которых эквивалентно облаку специальных данных в каком-то конкретном аспекте, а не во всех аспектах сразу.
И мой глупый вопрос , как было сказано в начале: , когда вы предпочитаете эллипсоид1 / эллипсоид2 / эллипсоид3 / эллипсоид4 / некоторый эллипсоидX, как «эквивалент по свойствам» заданным сферическим данным. ? Чтобы намекнуть на пример, вы можете исследовать поведение некоторого многомерного статистического анализа или техники машинного обучения или некоторого многомерного индекса / статистики, его поведение по отношению к (набору) сферических или эллипсоидных облаков данных. Т.е. его реакция или чувствительность к явному shape . Это означает, что вам нужны данные, которые различаются только формой, т.е. коэффициент $ k $ ($ 1 $ для сферической формы и некоторое выбранное значение $> 1 $ для эллиптической формы), и «, все остальные свойства сохраняются равными ». , чтобы утверждать это интуитивно правильно. Но мы увидели (я проиллюстрировал это), что «все свойства» не могут быть равны, мы должны выбрать какое.
Для исследования , какого типа «статистических / обучающих методов» или «индексов / статистики» вы выберете для того или иного свойства облака, которое будет эквивалентно ч / б сфере и эллипсоиду (нормальное распределение, но не обязательно 2-мерные данные)? Пожалуйста, поделитесь своими рассуждениями, интуитивно понятными или строгими, как вам нравится.
(PS Во всех четырех эллипсах выше есть одно свойство, которое является тем же самым и идентичным свойствам сферы: расстояния Махаланобиса. Следовательно, процедуры, основанные на таком свойстве данных, как расстояния Махаланобиса или их сумма, будут слепы к различие между пятью облаками. Но расстояние Махаланобиса не очень интересная проблема для моего вопроса, поскольку оно, по определению, просто «удаляет» любую эллиптическую форму облака данных.)
Надежная подгонка эллипсоидов путем разделения внутренних и внешних точек во время оптимизации
Ан, С.Дж .: 3. Ортогональная дистанционная аппроксимация неявных кривых и поверхностей. В: Ортогональная аппроксимация методом наименьших квадратов кривых и поверхностей в пространстве, Лекционные заметки по информатике, т. 3151, стр. 35–53. Springer, Berlin (2004)
Blane, M., Lei, Z., Civi, H., Cooper, D .: Алгоритм 3L для подгонки неявных полиномиальных кривых и поверхностей к данным. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 22 (3), 298–313 (2000)
Артикул Google Scholar
Бранхам младший, Р.Л .: Альтернативы наименьшим квадратам. Astron. J. 87 , 928–937 (1982)
MathSciNet Статья Google Scholar
Калафиоре, Дж .: Аппроксимация n-мерных данных с использованием сферических и эллипсоидальных примитивов. IEEE Trans. Syst. Человек Киберн. A: Syst. Гул. 32 (2), 269–278 (2002)
Статья Google Scholar
Cao, X., Shrikhande, N .: Подгонка квадратичной поверхности для данных с разреженным диапазоном. В: Помощь в принятии решений для сложных систем, Материалы конференций Международной конференции IEEE 1991 г. по системам, человеку и кибернетике, 1991 г., т. 1, стр. 123–128 (1991)
Чен, Ю., Лю, Ч .: Извлечение квадратичной поверхности с использованием генетических алгоритмов. Comput. Помощь Дес. 31 (2), 101–110 (1999)
Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar
Ченури, С., Лян, Дж., Смолл, К.: Надежное уменьшение размеров. Wiley Interdiscip. Реверс: Comput. Стат. 7 (1), 63–69 (2015)
MathSciNet Статья Google Scholar
Чернов Н., Лесорт К .: Аппроксимация окружностей методом наименьших квадратов. J. Math. Imaging Vis. 23 (3), 239–252 (2005)
MathSciNet Статья Google Scholar
Chung, P., Ng, G .: Сравнение акселерометра и системы трехмерного анализа движения для обнаружения движения. Физиотерапия 98 (3), 256–259 (2012). Специальный выпуск о передовых технологиях, включая статьи из WCPT
Статья Google Scholar
Коллингс, С., Козера, Р., Ноукс, Л .: Надежная подгонка поверхности с двух точек зрения с использованием ограниченного соответствия. J. Math. Imaging Vis. 34 (2), 200–221 (2009)
MathSciNet Статья Google Scholar
Comport, A., Marchand, E., Pressigout, M., Chaumette, F .: Безмаркерное отслеживание в режиме реального времени для дополненной реальности: виртуальная система визуального сервоуправления. IEEE Trans. Vis. Comput. График. 12 (4), 615–628 (2006)
Артикул Google Scholar
Кросс, Г., Зиссерман, А .: Квадрическая реконструкция из геометрии двойного пространства. В: Шестая международная конференция по компьютерному зрению, 1998 г., стр. 25–31 (1998)
Daubechies, I., Devore, R., Fornasier, M., Güntürk, C.: Минимизация методом наименьших квадратов с итеративным изменением веса для разреженного восстановления. Commun. Pure Appl. Математика. 63 (1), 1–38 (2010)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Эберли, Д .: Geometric Tools, LLC. http://www.geometrictools.com
Фанг, Дж., Лю, З .: Новый метод калибровки ошибки наклона таблицы движения на основе акселерометров.IEEE Trans. Instrumen. Измер. 64 (2), 487–493 (2015)
MathSciNet Статья Google Scholar
Фанг, Дж., Сун, Х., Цао, Дж., Чжан, X., Тао, Й .: Новый метод калибровки магнитного компаса, основанный на подгонке эллипсоида. IEEE Trans. Instrum. Измер. 60 (6), 2053–2061 (2011)
Артикул Google Scholar
Фигейредо, М., Биукас-Диас, Дж., Новак, Р.: Алгоритмы мажоризации – минимизации для восстановления изображений на основе вейвлетов. IEEE Trans. Процесс изображения. 16 (12), 2980–2991 (2007)
MathSciNet Статья Google Scholar
Фитцгиббон А., Пилу А., Фишер Р .: Прямая аппроксимация эллипсов методом наименьших квадратов. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 21 (5), 476–480 (1999)
Артикул Google Scholar
Флёри, С., Хофер, М .: Подгонка поверхности и регистрация облаков точек с использованием аппроксимации беззнаковой функции расстояния. Comput. Помощь Geom. Des. 27 (1), 60–77 (2010)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Гандер В., Голуб Г.Х., Штребель Р. Аппроксимация окружностей и эллипсов методом наименьших квадратов. BIT Numer. Математика. 34 (4), 558–578 (1994)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Ганг, Ю., Интан, З., Хунбо, Ф., Гуокуан, Р., Чжинин, Л .: Интегрированная калибровка системы тензора магнитного градиента. J. Magn. Magn. Матер. 374 , 289–297 (2015)
Статья Google Scholar
Ge, Z., S, B., Chan, HP, Hadjiiski, LM, Cascade, PN, Bogot, N., Zhou, C .: Компьютерное обнаружение узелков в легких: ложноположительное уменьшение с использованием метод трехмерного градиентного поля и аппроксимация трехмерным эллипсоидом. Робот.Auton. Syst. 8 (32), 2443–2454 (2005)
Google Scholar
Гитцельт, М., Вольф, К.Х., Маршоллек, М., Хаукс, Р.: Сравнение производительности алгоритмов калибровки акселерометра на основе методов аппроксимации трехмерным эллипсоидом. Comput. Методы Прогр. Биомед. 111 (1), 62–71 (2013)
Статья Google Scholar
Гонсалес-Вильянуэва, Л., Cagnoni, S., Ascari, L .: Разработка носимой сенсорной системы для мониторинга движений человека при физической реабилитации. Датчики 13 (6), 7735 (2013)
Артикул Google Scholar
Готардо, П., Беллон, О., Бойер, К., Сильва, Л .: Сегментация изображений по диапазонам на плоские и квадрические поверхности с использованием улучшенного надежного средства оценки и генетического алгоритма. IEEE Trans. Syst. Человек Киберн. B: Cybern. 34 (6), 2303–2316 (2004)
Артикул Google Scholar
Граммалидис, Н., Стринцис, М .: Обнаружение и отслеживание головы с помощью подбора двухмерных и трехмерных эллипсоидов.
В: Proceedings of the Computer Graphics International, 2000, стр. 221–226 (2000)
Гривон, Д., Везцетти, Э., Виоланте, М.Г .: Разработка инновационного недорогого устройства для центровки датчиков MARG и Методика компенсации искажений для приложений 3D-сканирования. Робот. Auton. Syst. 61 (12), 1710–1716 (2013)
Артикул Google Scholar
Харрис, Дж. У., Стокер, Х .: Справочник по математике и вычислительным наукам. Шпрингер, Берлин (1998)
Google Scholar
Хе, Р., Ху, Б.Г., Чжэн, В.С., Конг, X.W .: Надежный анализ главных компонентов на основе критерия максимальной коррентропии. IEEE Trans. Процесс изображения. 20 (6), 1485–1494 (2011)
MathSciNet Статья Google Scholar
Хельцер, А., Барзохар, М., Малах, Д .: Устойчивое подгонка двумерных кривых и трехмерных поверхностей неявными полиномами. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 26 (10), 1283–1294 (2004)
Артикул Google Scholar
Хубер, П .: Надежная статистика. Уайли, Нью-Йорк (1981)
Google Scholar
Хуньяди, Л., Вайк, И.: Подгонка квадратичных ошибок в переменных с ограничениями.Vis. Comput. 30 , 1347–1358 (2014)
Артикул Google Scholar
Карнески, Р.А., Садбрак, С.К., Зайдман, Д.Н.: Эллипсоиды, наиболее подходящие для данных атомной томографии, для изучения слияния осадков \ (\ gamma \, ({L} _ {12}) \) в Ni – Al – Cr. Scr. Матер. 57 (4), 353–356 (2007)
Артикул Google Scholar
Керен, Д., Купер, Д., Subrahmonia, J .: Описание сложных объектов с помощью неявных многочленов.
IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 16 (1), 38–53 (1994)
Статья Google Scholar
Керен, Д., Гоцман, К .: Подгонка кривых и поверхностей с ограниченными неявными многочленами. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 21 (1), 31–41 (1999)
Статья Google Scholar
Krach, B., Robertson, P .: Интеграция инерциальных датчиков на лапах в байесовскую систему оценки местоположения. В: 5th Workshop on Positioning, Navigation and Communication, 2008 (WPNC 2008), pp. 55–61 (2008)
Kubota, T., Okada, K .: Оценка диаметров легочных узелков с конкуренцией – диффузией и надежная форма эллипсоида. В: Лю Ю., Цзян Т., Чжан К. (ред.) Компьютерное зрение для приложений биомедицинских изображений, Конспект лекций по информатике, т.3765, стр. 324–334. Шпрингер, Берлин (2005)
Google Scholar
Ladrón de Guevara, I., Muñoz, J., Cózar, O.D., Blázquez, E.B .: Надежная подгонка круговых дуг. J. Math. Imaging Vis. 40 (2), 147–161 (2010)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Ли, П. Ю., Мур, Дж .: Геометрическая оптимизация для оценки трехмерных поз квадратичных поверхностей.В: Протоколы тридцать восьмой конференции Asilomar по сигналам, системам и компьютерам, 2004 г., т. 1, стр. 131–135 (2004)
Ли, К., Гриффитс, Дж .: Подгонка для эллипсоида методом наименьших квадратов. В: Proceedings of the Geometric Modeling and Processing, 2004, pp. 335–340 (2004)
Лу, X., Чжоу, L., Jia, Y .: Выполнение калибровки эллипсоидального фитинга для трехосного магнитный датчик на базе встроенной системы stm32. В: Zu, Q., Hu, B., Gu, N., Сенг, С. (ред.) Человекоцентричные вычисления, Лекционные заметки по информатике, т. 8944, стр.
717–726. Springer, Berlin (2015)
Лукас, Б.Д., Канаде, Т .: Метод итеративной регистрации изображений с приложением к стереозрению. В: Материалы 7-й Международной совместной конференции по искусственному интеллекту, т. 2. С. 674–679. Морган Кауфманн, Сан-Франциско, Калифорния, США (1981)
Лукач, Г., Мартин, Р., Маршалл, Д.: Точная подгонка сфер, цилиндров, конусов и торов методом наименьших квадратов для надежной сегментации.В: Burkhardt, H., Neumann, B. (eds.) Computer Vision — ECCV’98, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1406. С. 671–686. Шпрингер, Берлин (1998)
Google Scholar
Махдави, С., Салкудеан, С .: 3D-сегментация простаты на основе подгонки эллипсоида, сужения изображения и деформации. В: 30th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society, 2008 (EMBS 2008), pp. 2988–2991 (2008)
Малюгина А., Игудесма К., Чикрин Д .: Аппроксимация трехмерного эллипсоида методом наименьших квадратов для зашумленных данных. Прил. Математика. Sci. 8 (149), 7409–7421 (2014)
Артикул Google Scholar
Мэтьюз, В., Се, З .: Стохастический градиентный адаптивный фильтр с адаптивным к градиенту размером шага. IEEE Trans. Сигнальный процесс. 41 (6), 2075–2087 (1993)
Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar
Меер, П., Минц, Д., Розенфельд, А., Ким, Д .: Надежные методы регрессии для компьютерного зрения: обзор. Int. J. Comput. Vis. 6 , 59–70 (1991)
Артикул Google Scholar
Мишталь К., Табор Дж .: Измерение эллиптичности и округлости с помощью расхождения Кульбака – Лейблера. J. Math. Imaging Vis. 55 (1), 136–150 (2015)
Муньос-Перес, Х., де Косар-Масиас, О.
, Бласкес-Парра, Э., Ладрон де Гевара-Лопес, И .: Многокритериальная робастная подгонка эллиптических примитивов. J. Math. Imaging Vis. 49 (2), 492–509 (2014)
MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Olivares, A., Ruiz-Garcia, G., Olivares, G., Górriz, J.M., Ramirez, J .: Автоматическое определение достоверности входных данных, используемых в алгоритмах калибровки границ эллипсоида. Датчики 13 (9), 11,797 (2013)
Артикул Google Scholar
Оливейра, Дж., Биукас-Диас, Дж., Фигейредо, М .: Адаптивное устранение размытости изображения с полной вариацией: подход мажоризации и минимизации. Сигнальный процесс. 89 (9), 1683–1693 (2009)
Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar
Парк С.К., Сух Ю.С.: Алгоритм обнаружения нулевой скорости с использованием инерциальных датчиков для пешеходных навигационных систем. Датчики 10 (10), 9163 (2010)
Артикул Google Scholar
Пратт, В .: Прямая аппроксимация алгебраических поверхностей методом наименьших квадратов. SIGGRAPH Comput. График. 21 (4), 145–152 (1987)
MathSciNet Статья Google Scholar
Римон, Э., Бойд, С .: Обнаружение столкновений с препятствиями с использованием наилучшего соответствия эллипсоида. J. Intell. Робот. Syst. 18 (2), 105–126 (1997)
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Rousseeuw, P., Leroy, A .: Надежная регрессия и обнаружение выбросов. Уайли, Нью-Йорк (1987)
Google Scholar
Сахин Т., Унел М .: Стабильные алгебраические поверхности для представления трехмерных объектов.
J. Math. Imaging Vis. 32 (2), 127–137 (2008)
Статья Google Scholar
Саппа, А., Рухани, М .: Эффективная оценка расстояния для подгонки неявных квадратичных поверхностей.In: 2009 16th IEEE International Conference on Image Processing (ICIP), pp. 3521–3524 (2009)
Sarakon, P., Charoenpong, T., Charoensiriwath, S .: Обнаружение кончика носа с использованием эллипсоидального фитинга для Частичные данные лица 2.5D. В: 6-я Международная конференция по биомедицинской инженерии (BMEiCON), 2013 г., стр. 1–5 (2013)
Саракон, П., Чароенпонг, Т., Чароэнсириват, С.: Классификация формы лица на основе трехмерных данных человека с использованием SVM. В: 2014 7-я Международная конференция по биомедицинской инженерии (BMEiCON), стр.1–5 (2014)
Ши, Дж., Томаси, Ч .: Хорошие возможности для отслеживания. В: Proceedings of the IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 593–600 (1994)
Skog, I., Nilsson, JO, Handel, P .: Оценка детекторов нулевой скорости для инерциальных навигационных систем на лапах. В: Международная конференция по внутреннему позиционированию и внутренней навигации (IPIN), 2010, стр. 1–6 (2010)
Sturm, P., Gargallo, P.: Конический фитинг с использованием геометрического расстояния. В: Yagi, Y., Kang, S., Kweon, I., Zha, H. (eds.) Computer Vision — ACCV 2007, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4844. С. 784–795. Шпрингер, Берлин (2007)
Google Scholar
Салливан, С., Сэндфорд, Л., Понсе, Дж .: Использование геометрического расстояния подходит для моделирования и распознавания трехмерных объектов. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 16 (12), 1183–1196 (1994)
Артикул Google Scholar
Susi, M.
, Renaudin, V., Lachapelle, G .: Распознавание режима движения и алгоритмы обнаружения шагов для пользователей мобильных телефонов. Датчики 13 (2), 1539 (2013)
Артикул Google Scholar
Szpak, Z.L., Chojnacki, W., Hengel, A .: Гарантированная подгонка эллипса с доверительной областью и мерой неопределенности для центра, осей и ориентации. J. Math. Imaging Vis. 52 (2), 173–199 (2014)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Таубин, Г .: Оценка плоских кривых, поверхностей и неплоских пространственных кривых, определяемых неявными уравнениями, с приложениями к сегментации изображений по краям и диапазонам. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 13 (11), 1115–1138 (1991)
Артикул Google Scholar
Таубин, Г., Цукерман, Ф., Салливан, С., Понсе, Дж., Кригман, Д .: Параметризованные семейства многочленов для ограниченной алгебраической кривой и аппроксимации поверхности.IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 16 (3), 287–303 (1994)
Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar
Theekapun, C., Hase, H., Tokai, S .: Надежная локализация носа с помощью подгонки эллипса из 2.5d изображения. В: 2006 IEEE Region 10 Conference on TENCON 2006, pp. 1–4 (2006)
Trucco, E., Verri, A .: Введение в методы трехмерного компьютерного зрения. Прентис-Холл, Верхняя Седл-Ривер (1998)
Google Scholar
Вайк, И., Хеттесси, Дж .: Идентификация нелинейных моделей ошибок в переменных катион нелинейных моделей ошибок в переменных. Automatica 39 , 2099–2107 (2003)
Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar
Ван Ден Доэль, К.
, Ашер, У .: Хаотическая природа методов более быстрого градиентного спуска. J. Sci. Comput. 51 (3), 560–581 (2012)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Ванденберге, Л., Бойд, С .: полуопределенное программирование. SIAM Rev. 38 (1), 49–95 (1996)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Вайбель, П., Маттес, Дж., Грелль, Л .: Узел в форме эллипса с ограничением с центром на линии. J. Math. Imaging Vis. 53 (3), 364–382 (2015)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Уэлш, Р .: Надежная регрессия с использованием итеративно взвешенных наименьших квадратов. Commun. Стат. Теория Методы 6 (9), 813–827 (1977)
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Ying, X., Yang, L., Zha, H .: Быстрый алгоритм для многомерного подбора, специфичного для эллипсоида, путем минимизации новой определенной векторной нормы остатков с использованием полуопределенного программирования. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 34 (9), 1856–1863 (2012)
Ю., Дж., Кулькарни, С.Р., Бедный, Х.В.: Надежная подгонка эллипсов и сфероидов. В: Материалы 43-й конференции Asilomar по сигналам, системам и компьютерам, стр. 94–98. IEEE Press (2009)
Ю. К., Данг, X., Чен, Ю.: Надежность аффинной эквивариантной оценки рассеяния на основе ковариационной матрицы пространственного ранга. Commun. Стат. Теоретические методы 44 (5), 914–932 (2015)
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Чжан З .: Новый гибкий метод калибровки камеры. IEEE Trans. Pattern Anal. Мах. Intell. 22 (11), 1330–1334 (2000)
Артикул Google Scholar
Zhi-qiang, Z., Guang-Zhong, Y .: Калибровка микромагнитометра для точной оценки ориентации. IEEE Trans. Биомед. Англ. 62 (2), 553–560 (2015)
Статья Google Scholar
Многомерное гауссовское моделирование вне произвольных эллипсоидов в JSTOR
AbstractВ приложениях часто требуются методы моделирования на основе многомерных гауссовых распределений с ограничением извне произвольной эллипсоидальной области.Часто используется стандартный алгоритм отклонения, который берет выборку из многомерного распределения Гаусса и принимает ее, если она находится за пределами эллипсоида; однако это вычислительно неэффективно, если вероятность того, что этот эллипсоид при многомерном нормальном распределении высока. Мы предоставляем двухэтапную схему отбора проб для отбора проб из такого усеченного распределения. Эксперименты показывают, что дополнительная сложность двухэтапного подхода приводит к тому, что стандартный алгоритм более эффективен для небольших эллипсоидов (т.е., с малой вероятностью отклонения). Однако с увеличением размера эллипсоида эффективность двухэтапного подхода по сравнению со стандартным алгоритмом неограниченно возрастает. Относительная эффективность также увеличивается по мере увеличения числа измерений, по мере приближения центров эллипсоида и многомерного гауссова распределения и по мере того, как форма эллипсоида становится более сферической. Мы предоставляем результаты имитационных экспериментов, проведенных для количественной оценки относительной эффективности в диапазоне настроек параметров.
Информация о журнале Целью журнала вычислительной и графической статистики является улучшение и расширение использования вычислительных и графических методов в статистике и анализе данных. Этот ежеквартальный журнал, основанный в 1992 году, содержит новейшие исследования, данные, опросы и многое другое о численных методах, графических изображениях и методах, а также о восприятии.
Статьи написаны для читателей, которые имеют большой опыт в области статистики, но не обязательно являются экспертами в области вычислений.
Основываясь на двухвековом опыте, Taylor & Francis быстро выросла за последние два десятилетия и стала ведущим международным академическим издателем. Группа издает более 800 журналов и более 1800 новых книг каждый год, охватывая широкий спектр предметных областей и включая отпечатки журналов Routledge, Carfax, Spon Press, Psychology Press, Martin Dunitz, Taylor & Francis. Taylor & Francis полностью привержены публикации и распространению научной информации высочайшего качества, и сегодня это остается основной целью.
Эллипсоидальный коллапс и улучшенная модель количества и пространственного распределения гало темной материи | Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества
Абстрактные
Подход Press — Schechter, экскурсионных наборов позволяет делать прогнозы о форме и эволюции функции масс связанных объектов. Подход объединяет предположение, что объекты коллапсируют сферически, с предположением, что начальные флуктуации плотности были гауссовыми и малыми.Предсказанная функция масс достаточно точна, хотя в ней меньше объектов с большой массой и больше объектов с низкой массой, чем при моделировании иерархической кластеризации. Мы показываем, что расхождение между теорией и моделированием может быть существенно уменьшено, если предположить, что связанные структуры образуются из эллипсоидального, а не сферического коллапса. В исходной стандартной сферической модели область схлопывается, если начальная плотность в ней превышает пороговое значение, δ sc .Это значение не зависит от начального размера области, и поскольку масса сколлапсирующего объекта связана с его начальным размером, это означает, что δ sc не зависит от конечной массы.
В эллипсоидальной модели коллапс области зависит от окружающего поля сдвига, а также от его начальной плотности. В гауссовых случайных полях распределение этих величин зависит от размера рассматриваемой области. Поскольку масса области связана с ее начальным размером, существует связь между пороговым значением плотности, необходимым для коллапса, и массой конечного объекта.Мы обеспечиваем аппроксимирующую функцию для этого отношения δ ec ( м ), которое упрощает включение эллипсоидальной динамики в подход набора экскурсий. Мы обсуждаем связь между предсказаниями набора экскурсий и распределением гало в симуляциях с высоким разрешением N -тела и используем нашу новую формулировку подхода, чтобы показать, что наша простая параметризация модели эллипсоидального коллапса представляет собой улучшение сферической модели. на объектной основе.Наконец, мы показываем, что соответствующие статистические прогнозы, функция масс и крупномасштабное отношение смещения гало к массе также более точны, чем стандартные прогнозы.
1 Введение
Современные модели образования галактик предполагают, что структура иерархически вырастает из небольших, изначально гауссовых флуктуаций плотности. Свернувшиеся, вириализированные гало темной материи конденсируются из начального поля флуктуаций, и именно в этих гало газ охлаждается и образуются звезды (White & Rees 1978; White & Frenk 1991; Kauffmann et al.1999). В таких моделях важно понимать свойства этих темных ореолов. Есть некоторая надежда, что темные ореолы будет относительно просто понять, потому что, в хорошем приближении, только гравитация определяет их свойства. Формирование и другие свойства темных ореолов могут быть изучены с использованием как симуляций тела N , так и аналитических моделей. Наиболее развитая аналитическая модель в настоящее время получила название подхода Пресса-Шехтера. Это позволяет вычислить хорошие приближения к функции масс (Press & Schechter 1974; Bond et al.
1991), истории слияния (Lacey & Cole 1993, 1994; Sheth 1996; Sheth & Lemson 1999b) и пространственной кластеризации (Mo & White 1996; Mo, Jing & White 1996, 1997; Catelan et al. 1998; Sheth 1998; Sheth & Lemson 1999a) темных ореолов.
Пусть n ( m , z ) обозначает числовую плотность связанных объектов, имеющих массу m в момент времени z . Пресс и Шехтер (1974) утверждали, что коллапсирующие гало в более позднее время можно отождествить с областями сверхплотности в поле начальной плотности.Бонд и др. (1991) описали, как предположение о том, что объекты образуются в результате сферического коллапса, можно объединить с тем фактом, что начальное распределение флуктуаций было гауссовым, чтобы предсказать n ( m , z ). Для этого они сделали два предположения: (i) область схлопывается в момент времени z , если начальная избыточная плотность внутри нее превышает критическое значение, δ sc ( z ). Это критическое значение зависит от z , но не зависит от начального размера области.Зависимость δ sc от z дается моделью сферического коллапса. (ii) гауссовский характер флуктуационного поля означает, что простое приближение к n ( m , z ) дается путем рассмотрения статистики пересечения барьера многих независимых, некоррелированных случайных блужданий, где форма барьера B ( м , z ) определяется тем фактом, что в сферической модели δ sc не зависит от м .Здесь присутствует важная деталь: некоррелированный характер случайных блужданий — это приближение, введенное в первую очередь для упрощения аналитической модели; он точен только для случая резкого фильтра k -пространства, тогда как физическая модель почти всегда формулируется в терминах цилиндра в реальном пространстве. Мы вернемся к этой детали позже в этой статье.
Хотя функция масс, предсказанная этой «стандартной» моделью, достаточно точна, численное моделирование показывает, что для небольших ореолов она может не работать (Lacey & Cole 1994; Sheth & Tormen 1999).Это несоответствие неудивительно, поскольку для получения достаточно простых аналитических прогнозов необходимо сделать много предположений. В частности, приближение сферического коллапса к динамике может быть неточным, потому что мы знаем, что возмущения в гауссовых полях плотности по своей природе являются трехосными (Дорошкевич, 1970; Бардин и др., 1986).
В этой статье мы модифицируем стандартный формализм, добавляя эффекты несферического коллапса. В разделе 2 мы утверждаем, что основным эффектом включения динамики эллипсоидального, а не сферического коллапса является введение простой зависимости критической плотности, необходимой для коллапса, от массы гало.В литературе обсуждается, почему работает метод экскурсионного набора. Раздел 3 продолжает это и показывает, что наше простое изменение «стандартной» модели уменьшает разброс между предсказанными и фактическими массами гало для каждого объекта. В разделе 4 показано, что это простое изменение также существенно улучшает соответствие между предсказанными статистическими величинами (функцией масс гало и соотношением смещения гало к массе) и соответствующими результатами моделирования. В последнем разделе суммируются наши выводы и обсуждается, как они связаны с работой Monaco (1995, 1997a, b), Bond & Myers (1996), Audit, Teyssier & Alimi (1997) и Lee & Shandarin (1998).
2 Подход Excursion Set
Первая часть этого раздела резюмирует «стандартную» модель, в которой модель сферического коллапса сочетается с предположением, что начальные флуктуации были гауссовыми и небольшими. Во второй части показано, как можно модифицировать «стандартную» модель, чтобы учесть эффекты эллипсоидального, а не сферического коллапса.
2.
1 Сферический коллапс: постоянный барьер Пусть σ ( r ) обозначает среднеквадратичное колебание на шкале r .В иерархических моделях кластеризации из начальных гауссовых флуктуаций σ уменьшается по мере увеличения r способом, который определяется спектром мощности. Если бы начальные колебания были небольшими, то масса м в пределах области размером / — это просто Bond et al. (1991) утверждали, что функция масс коллапсирующих объектов при красном смещении z , n ( м , z ) удовлетворяет (1) где ρ ̄ — фоновая плотность, — отношение критической плотности необходимое для коллапса в сферической модели к среднеквадратичному колебанию плотности в масштабе r начального размера объекта м , а функция левой части задается вычислением распределения первых пересечений, f ( ν ) d ν , барьера B ( ν ), независимыми, некоррелированными случайными броуновскими движениями.Таким образом, в их модели для гауссовых начальных флуктуаций n ( m , z ) определяется формой барьера, B ( ν ) и соотношением между переменной ν и массой м (т. Е. По начальному спектру мощности). Бонд и др. (1991) использовали модель сферического коллапса для определения высоты барьера B как функции ν следующим образом. В модели сферического коллапса критическая избыточная плотность δ sc ( z ), необходимая для коллапса при z , не зависит от массы м схлопывающейся области, поэтому она не зависит от σ ( м ).Бонд и др. поэтому утверждал, что с тех пор B ( ν ) должно быть одинаковой константой для всех ν . Использование модели сферического коллапса для установки δ sc ( z ) означает, например, что во вселенной Эйнштейна-де Ситтера.
Поскольку высота барьера, связанная со сферической моделью коллапса, не зависит и поскольку случайные блуждания считаются независимыми и некоррелированными, распределение первого пересечения может быть получено аналитически.Это позволило Бонду и соавт. чтобы предоставить простую формулу для формы функции масс, которая связана с динамикой сферического коллапса: (2)Обратите внимание, что в этом подходе эффекты космологии фона и формы спектра мощности могут быть аккуратно разделены. Космологическая модель определяет, как δ sc зависит от z , тогда как форма спектра мощности определяет, как дисперсия зависит от масштаба r , поэтому она фиксирует, как σ зависит от массы. свободных спектров, если функция масс хорошо определена в один выходной момент времени, тогда другие могут быть вычислены с помощью простых пересчетов.
В этом подходе с экскурсионным набором форма функции масс определяется B ( σ ) и σ ( м ). Поскольку σ ( м ) зависит от формы исходного спектра мощности, но не от лежащей в основе динамики, для включения эффектов эллипсоидального коллапса в модель экскурсионного набора нам нужно только определить форму барьера, связанную с новым, несферическая динамика. Ниже мы опишем простой способ сделать это.
2.2 Эллипсоидальный коллапс: движущийся барьер
Гравитационный коллапс однородных эллипсоидов изучался Ике (1973), Уайт и Силк (1979), Пиблсом (1980), Барроу и Силком (1981), Лемсоном (1993) и Эйзенштейном и Лёбом (1995). Мы будем использовать модель в форме, описанной Bond & Myers (1996). То есть предполагается, что эволюция возмущения лучше описывается начальным полем сдвига, чем начальное поле плотности, начальные условия и внешние приливы выбираются для восстановления приближения Зельдовича в линейном режиме, а вириализация определяется как время, когда третья ось схлопывается.
Этот последний выбор означает, что существует некоторая свобода, связанная с тем, как каждая ось, как предполагается, будет развиваться после поворота, и является основным свободным параметром в модели, которую мы опишем ниже. Следуя Bond & Myers (1996), мы выбрали следующий рецепт. В то время как в принципе ось может схлопнуться до нулевого радиуса, коллапс вдоль каждой оси замораживается после того, как она сжалась на некоторый критический фактор. Этот радиус замораживания выбран таким образом, чтобы контраст плотности при вириализации был таким же (в 179 раз больше критической плотности), что и в модели сферического коллапса.Последующие результаты не очень чувствительны к точному значению этого радиуса замерзания.
[Если, то это соотношение может быть решено аналитически, чтобы дать некоторое представление о том, как δ ec зависит от e и p .Например, когда и затем Сплошная кривая на рис. 1 показывает значение, заданное уравнением (3), когда для и показаны две пунктирные кривые. Рисунок показывает, что наша приблизительная формула подгонки хороша до 10% или около того; другие простые формулы подгонки, которые мы представим позже в этой статье, имеют примерно такой же порядок точности.Рисунок 1.
Рисунок 1.
Мы хотим рассмотреть коллапс эллипсоидов из первоначально гауссовского флуктуационного поля.Приложение A показывает, что в любом масштабе R f , параметризованном σ ( R f ), существует диапазон вероятных значений e , p и δ . Это означает, что существует диапазон времен схлопывания, связанный с областями размером R f . В принципе, мы могли бы получить оценку для среднего δ ec ( σ ), усреднив δ ec ( e , p ) по распределению ( e , p , δ σ ) подходящим образом.По сути, Monaco (1995), Audit et al. (1997) и Ли и Шандарин (1998) дают разные рецепты для этого. Мы воспользуемся более простой процедурой, описанной ниже.
В среднем в гауссовом поле. Сплошная кривая на рис. 1 показывает коэффициент расширения при вириализации в этом случае. Эту кривую легко использовать для вычисления ассоциированного δ ec ( e , z ). Сделав это, если мы сможем связать e с массой m , тогда мы сможем описать форму барьера, связанную с эллипсоидальным, а не сферическим коллапсом.Это можно сделать следующим образом. Области, изначально имеющие заданное значение δ σ , скорее всего, имеют эллиптичность (см. Приложение A). Чтобы схлопнуться и сформировать связанный объект на z , начальная избыточная плотность такой области должна быть δ ec ( e mp , z ).
Если мы потребуем, чтобы δ в правой части этого соотношения для e mp было равно этому критическому значению δ ec ( e mp , z ), то это наборы σ 2 ( R f ).Поскольку он пропорционален массе, это обеспечивает связь между e и массой, и, следовательно, между δ ec и массой: (4) где мы устанавливаем Метки осей вверху и справа от графика показывают эту связь.Обратите внимание, что спектр мощности входит только в отношении между σ и m , тогда как эффекты космологии входят только в отношении между δ sc и z . Например, это выражение примерно одинаково для моделей SCDM, OCDM и ΛCDM, если все отклонения σ 2 ( м ) вычисляются с использованием спектра мощности, зависящего от модели, и значение δ sc ( z ) вычисляется с использованием модели сферического коллапса после включения ее зависимости от фоновой космологии: различия между этими моделями возникают в основном из-за преобразования масштабной переменной ν в физические переменные z и m .
Следует отметить ряд особенностей уравнения (4). Для массивных объектов уравнение (4) предполагает, что критическая избыточная плотность, необходимая для коллапса при z , приблизительно не зависит от массы: массивные объекты хорошо описываются сферической моделью коллапса. Другие подходы дают тот же результат (например, Бернардо, 1994). Во-вторых, критическая плотность увеличивается с σ ( м ), поэтому для менее массивных объектов она больше. Это потому, что более мелкие объекты больше подвержены влиянию внешних приливов; они должны иметь большую внутреннюю плотность, если они хотят удерживать себя вместе при коллапсе.
Большое преимущество интерпретации уравнения (4) как «движущейся» формы барьера состоит в том, что, как только форма барьера известна, все прогнозы программы набора отклонений могут быть вычислены относительно легко.
Это означает, что мы можем использовать логику Лейси и Коула (1993) для вычисления условных массовых функций, связанных с эллипсоидальным, а не сферическим коллапсом. Как и в исходной модели, это дается с учетом последовательного пересечения границ, связанных с разными красными смещениями.Как только эта условная функция масс известна, лес деревьев истории слияний может быть построен с использованием алгоритма, описанного Sheth & Lemson (1999b), из которого нелинейное стохастическое смещение, связанное с этой функцией масс, может быть получено с использованием логики Mo И Уайт (1996) и Шет и Лемсон (1999a).
3 Прогнозы набора экскурсий и
N — Моделирование телаФункция масс в уравнении (2) была впервые получена Press & Schechter (1974).Они использовали гауссову статистику областей, которые плотнее, чем δ sc ( z ) в заданном масштабе σ ( м ), чтобы вычислить функцию масс ореолов при красном смещении z (см. Также Efstathiou , Fall & Hogan 1982 и Epstein 1983). Однако их вывод не учитывает должным образом, что происходит с областями, которые плотнее, чем δ sc ( z ) более чем в одном масштабе (см., Например, Peacock & Heavens 1991).Подход с экскурсионным набором Бонда и соавт. (1991) показывает, как это можно сделать. Он основан на следующей гипотезе: при z масса схлопнувшегося объекта такая же, как масса в самой большой области в начальных условиях, которая могла бы схлопнуться при z .
К сожалению, эта гипотеза не ссылается на центр, вокруг которого произошел коллапс, ни в начальных условиях, ни в последний момент. Это привело к некоторой дискуссии в литературе относительно того, как именно следует сравнивать прогнозы приближения набора экскурсий с ореолами, которые образуются при численном моделировании иерархической кластеризации.Поскольку Bond et al. (1991) вычисление сформулировано в терминах усредненной по ансамблю статистики случайных блужданий, и предполагается, что ансамбль связан с ансамблем массовых элементов, скажем, в симуляторе, большинство тестов сравнивают предсказание набора экскурсий для случайно выбранной массы.
элементов с массой объекта, в котором фактически находится этот элемент массы. Это привело к пониманию того, что для каждого объекта прогнозы набора экскурсий крайне ненадежны (Bond et al.1991; White 1996), так что трудно объяснить, почему в статистическом смысле прогнозы экскурсионных наборов работают так же хорошо, как и они (Monaco 1999). В этом разделе обсуждается, как прогнозы этого подхода связаны с результатами численного моделирования. Он утверждает, что очень важно различать центры, вокруг которых произошел коллапс, и случайно выбранные позиции. Он показывает, что, как только это сделано, подход набора экскурсий действительно делает точные прогнозы даже для каждого объекта.Это сравнение показывает, что для каждого объекта наша параметризация эллипсоидальной динамики представляет собой улучшение стандартной сферической модели.
3.1 Выбор ореолов в начальных условиях
Предположим, что наше утверждение гипотезы экскурсионного множества верно: самая большая область в начальных условиях, которая может схлопнуться, рухнет. Тогда появится возможность объединить модель сферического коллапса со статистикой начального поля флуктуаций, чтобы получить оценку функции масс гало на z .Естественный способ сделать это следующий. Сгенерируйте начальное гауссово поле случайных флуктуаций. Вычислите среднюю плотность в концентрических сферических областях с центром в каждой позиции поля. Это траектории экскурсионного набора, связанные с каждой позицией.
В каждой позиции найдите самую большую сферическую область, внутри которой начальное колебание средней плотности превышает δ sc ( z ). Назовите массу в этой области предсказанной массой.Таким образом, для каждой позиции в начальном поле существует m pred ( z ). Перейдите в позицию с наибольшим м pred ( z ), назовите эту позицию r 1 и установите Связано с м 1 — сферический объем с центром r 1 .
Не обращайте внимания на прогнозируемые массы (т.е. игнорируйте заданные траектории отклонения) для всех других положений в пределах этого v 1 .Если блок моделирования имеет объем V , учитывайте оставшийся объем. Установите м 2 равным наибольшему значению м pred ( z ) в оставшемся объеме и запишите эту позицию r 2 . Не обращайте внимания на прогнозируемую массу для всех других позиций в пределах связанных v 2 . Продолжайте, пока оставшийся объем в окне моделирования не станет желаемым. Результирующий список м i с представляет функцию масс ореола, предсказанную подходом набора экскурсий.Список позиций r i представляет положения ореолов в лагранжевом пространстве. По сути, это алгоритм, описанный в конце раздела 3.3 у Bond & Myers (1996). (Они также описывают, что делать в том случае, если, например, некоторая масса, связанная с v 2 , находится в пределах v 1 .) Включение эллипсоидальной, а не сферической динамики в этот экскурсионный набор алгоритм тривиален: просто замените δ sc на δ ec ( m ).Конечно, мы можем это сделать, потому что начальный объем, занимаемый эллипсоидом, был в очень хорошем приближении сферическим.
Хотя этот алгоритм естественно следует из гипотезы экскурсионного множества, на практике он довольно неэффективен. По этой причине предварительный выбор позиций-кандидатов для набора экскурсий r i s может быть более эффективным. Например, в то время как описанный выше алгоритм выбирает пики в начальном распределении м до , положения этих пиков могут соответствовать пикам в самом поле плотности.Поскольку их может быть легче идентифицировать, может быть более эффективно использовать их вместо них.
По сути, это мотивация подхода Бонда и Майерса (1996) к подходу «пик-участок».
3,2 Прогнозируемые и фактические массы гало
Для заданного поля плотности набор траекторий набора отклонений зависит от формы фильтра, который использовался для вычисления плотности, связанной с каждой шкалой сглаживания. Если фильтр представляет собой цилиндр в пространстве Фурье, то каждая траектория набора отклонений представляет собой случайное блуждание с некоррелированными шагами; траектории, связанные с фильтром, который является цилиндром в реальном пространстве, имеют коррелированные шаги.Это означает, что набор экскурсий м i с зависит от выбора фильтра. В оставшейся части этого раздела мы будем использовать фильтр, который представляет собой цилиндр в реальном пространстве.
Алгоритм, описанный выше, показывает, что единственными релевантными значениями m pred являются те, которые находятся в списке m i s. То есть только несколько стеблей в связке траекторий экскурсионного набора фактически связаны со свернувшимися объектами.Легко понять почему. Представьте себе численное моделирование. Выберите случайную частицу в моделировании и запишите массу m гало, в котором эта частица находится на некотором заданном красном смещении z . Поскольку частица была выбрана случайным образом, это почти наверняка не частица с центром масс гало, в котором она находится на z . Есть ли простая причина, по которой ореол коллапсировал вокруг частицы с центром масс, а не вокруг случайно выбранной? Ответом на этот вопрос будет «да»: обрушение происходит вокруг положений, которые изначально являются локальными максимумами прогнозируемой массы экскурсионного набора.Когда происходит схлопывание, подход предполагает, что оболочки не пересекаются, поэтому первоначально концентрические оболочки остаются концентрическими.
Это означает, что частица с центром масс в последний момент времени также является частицей с центром масс вначале (частицы сохраняют ранг энергии связи, который они имели в начальных условиях), и что предсказанная масса для этого центра масс -масса частицы больше, чем у случайно выбранной. Это имеет важное последствие: только предсказание центра масс частицы является хорошей оценкой массы гало на z; все остальные частицы дают заниженные оценки конечной массы.
Мы будем использовать рис. 2–4, чтобы продемонстрировать точность нашей модели экскурсионного набора в два этапа. Во-первых, мы будем использовать рис. 2, чтобы доказать, что эллипсоидальная динамика представляет собой реальное улучшение по сравнению со сферической моделью. Затем мы будем использовать рисунки 3 и 4, чтобы показать, что наш подход к множеству экскурсий движущихся барьеров, связанный с эллипсоидальной динамикой, позволяет делать точные прогнозы для каждого объекта.
Рисунок 2.
Масса гало, в котором случайно выбранная частица, M гало , нанесена на график в зависимости от массы, предсказанной сферической (левая панель) и эллипсоидальной моделями коллапса (правая панель).Для построения графика использовались случайно выбранные 10 4 из 10 6 частиц в моделировании Вселенной Эйнштейна-де Ситтера с начальными условиями белого шума.
Рисунок 2.
Масса гало, в котором случайно выбранная частица, M гало , нанесена на график в зависимости от массы, предсказанной сферической (левая панель) и эллипсоидальной моделями коллапса (правая панель). Для построения графика использовались случайно выбранные 10 4 из 10 6 частиц в моделировании Вселенной Эйнштейна-де Ситтера с начальными условиями белого шума.
Рис. 3.
Масса гало в моделировании вселенной Эйнштейна-де Ситтера с начальными условиями белого шума по сравнению с массой, предсказанной с помощью подхода экскурсионных множеств.
Панель слева показывает прогноз, связанный со «стандартным» приближением динамики сферического коллапса; панель справа показывает прогноз, связанный с нашей параметризацией движущегося барьера модели эллипсоидального коллапса.
Рис. 3.
Масса гало в моделировании вселенной Эйнштейна-де Ситтера с начальными условиями белого шума в сравнении с массой, предсказанной подходом с использованием экскурсионных множеств.Панель слева показывает прогноз, связанный со «стандартным» приближением динамики сферического коллапса; панель справа показывает прогноз, связанный с нашей параметризацией движущегося барьера модели эллипсоидального коллапса.
Рисунок 4.
Влияние изменения p при заданном e на прогнозируемую массу гало: когда p становится более отрицательным (положительным), δ ec ( e , p ) увеличивается (уменьшается), поэтому прогнозируемая масса уменьшается (увеличивается).Заштрихованные кружки показывают прогноз, использованный для получения предыдущего рисунка, а столбцы показывают диапазон. Две панели вверху показывают результат для начальных условий белого шума, а нижние панели были построены на основе моделирования, в котором наклон начального спектр мощности был.
Рисунок 4.
Влияние изменения p при заданном e на прогнозируемую массу гало: по мере того, как p становится более отрицательным (положительным), δ ec ( e , p ) увеличивается (уменьшается), поэтому прогнозируемая масса уменьшается (увеличивается).Заштрихованные кружки показывают прогноз, использованный для получения предыдущего рисунка, а столбцы показывают диапазон. Две панели вверху показывают результат для начальных условий белого шума, а нижние панели были построены на основе моделирования, в котором наклон начального спектр мощности был.
Чтобы утверждать, что наша формулировка модели набора экскурсий, приведенная выше, действительно является предсказательной, мы должны показать, что она удовлетворяет тому, что можно было бы назвать «прямым» тестом. А именно, мы должны построить «предсказанное поле масс» в начальный момент времени, найти локальные максимумы в этом поле, использовать эти начальные пики для идентификации тех частиц, которые должны быть центрами масс гало в настоящее время, и сравнить предсказанный набор частицы с центром масс и их предсказанные массы с частицами, которые фактически являются центрами масс.Вместо этого на рисунках 2–4 ниже представлено то, что можно было бы назвать «обратным» сравнением. То есть они проверяют, можно ли было предсказано, что частицы центра масс гало в настоящее время находятся в гало правильной массы. Ниже мы будем утверждать, что результаты «обратного теста» убедительно свидетельствуют о том, что «прямой тест» также будет удовлетворительным.
Рисунки 2–4 были построены с использованием численного моделирования, любезно предоставленного Саймоном Уайтом и более подробно описанным в White (1996).Они следуют за кластеризацией 10 6 частиц из начальных условий белого шума (последующие результаты аналогичны для других начальных спектров мощности). Мы решили показать результаты для этого времени вывода при моделировании, в котором количество ореолов, содержащих более 10 частиц каждое, составляло ∼10 4 . Это число было выбрано для удобства сравнения с рис. 8 из White (1996), на котором представлены диаграммы рассеяния, содержащие ∼10 4 частиц.
Чтобы показать, что эволюция объекта хорошо описывается сферической или эллипсоидальной динамикой, мы должны сравнить эволюцию трех осей объекта с эволюцией модели.Для сферической модели это было сделано Лемсоном (1995). Здесь мы проведем более грубый тест. В модели сферического коллапса объект формируется на z , если начальная избыточная плотность внутри него превышает δ sc ( z ). Поскольку в модели оболочки не пересекаются, поэтому первоначально концентрические области остаются концентрическими, мы можем сравнить M предсказанный , массу, содержащуюся в самой большой сферической области с центром на случайно выбранной частице в начальных условиях, в которых плотность превышает δ sc ( z ), с гало M , масса объекта, в котором эта частица фактически равна z .Сравнение с эллипсоидальной динамикой аналогично, за исключением того, что для вычисления предсказанной массы вместо значения сферического коллапса используется значение δ ec ( M halo ). Таким образом, вместо того, чтобы тестировать детальную эволюцию объекта, это просто проверяет, зависит ли время, необходимое до того, как произойдет вириализация, от начальной избыточной плотности, описанной в модели.
На рис. 2 показано это сравнение для 10 4 частиц, случайно выбранных из моделирования.(Мы используем один и тот же набор частиц на обеих панелях. По косметическим причинам, предсказанная масса была случайным образом смещена в пределах каждого массового бункера, как описано Уайтом, 1996.) Панель слева показывает диаграмму рассеяния, связанную со сферической динамикой (он должен можно сравнить с графиком Уайта, который был построен на основе моделирования с начальными условиями), а панель справа показывает результат использования нашей параметризации эллипсоидальной динамики вместо этого. А именно, положение y , связанное с частицей, задается гало M , масса гало, в котором находится частица, и положение x получается, как мы описали выше.
Разница между двумя панелями разительна: точки на панели справа заполняют только верхнюю левую половину. Это различие легко понять: тогда как δ sc не зависит от M halo , δ ec ( м ) увеличивается по мере уменьшения м . Следовательно, по сравнению со сферической моделью, самый большой размер фильтра, содержащий критическую плотность эллипсоидального коллапса, уменьшается по мере уменьшения M halo , так что всегда.Таким образом, фактически, включая эллипсоидальную динамику, все точки на графике рассеяния сферической модели перемещаются влево, и, в среднем, это смещение зависит от гало
M .White (1996) утверждал, что если Bond et al. (1991) формулировка подхода экскурсионного набора верна, тогда на таком графике не должно быть разброса. Рис. 2 показывает, что, хотя корреляция между M halo и M предсказывала более жесткая в эллипсоидальной модели, чем в сферической модели, разброс на обеих панелях все еще значительный.То, что этот разброс на самом деле довольно велик, заставило Уайта утверждать, что точность предсказаний набора отклонений была удивительной.
Однако, как мы обсуждали выше, большая часть этого разброса является следствием выбора случайных частиц для построения графика разброса. Мы утверждали, что, поскольку случайные частицы почти всегда дают заниженную оценку истинной массы, такой график следует заполнять только в верхней левой половине. Это явно не относится к сферической динамике (панель слева).В то время как панель справа больше похожа на то, что мы ожидаем, это не совсем честная проверка модели эллипсоидального обрушения, движущегося барьера, экскурсионного набора, потому что она была построена с использованием фиксированного δ ec ( M halo ), а не тот, который зависит от масштаба, для вычисления M предсказал . Используя зависящее от масштаба соотношение δ ec ( м ), а не фиксированное значение δ ec ( M halo ), построение графика приведет к перемещению некоторых из точки справа [потому что, тем не менее, эта панель предполагает, что включение эллипсоидальной динамики представляет собой чистое улучшение по сравнению со сферической моделью.
Чтобы прояснить этот момент, на рис. 3 показан график рассеяния, полученный при использовании только тех частиц, которые являются центрами ореолов, для сравнения теории и моделирования. (Для построения этого графика использовались только ореолы, содержащие более 10 частиц, поскольку эффекты дискретности в начальных условиях становятся важными на малых масштабах, изначально занятых менее массивными ореолами). Как и раньше, на панели слева показан результат использования сферической динамики для вычисления прогнозируемой массы, а на панели справа показан параметр, связанный с эллипсоидальной динамикой, но теперь прогнозируемая масса вычисляется с использованием движущегося барьера эллипсоидального коллапса, вместо фиксированного значения, связанного с гало M .Наиболее разительным отличием этого графика от предыдущего является то, что теперь левая верхняя половина на обеих панелях пуста. Как мы обсуждали выше, это является убедительным подтверждением нашего предположения о том, что обрушение происходит около локальных максимумов распределения м до . В частности, тот факт, что верхняя левая половина обеих панелей пуста, предполагает, что, если бы мы выполнили «предварительный тест», он был бы удовлетворен.
Использование только частиц центра масс при построении диаграммы рассеяния позволяет нам проверить относительные достоинства приближений сферической и эллипсоидальной моделей к точной динамике.На обеих панелях некоторое несоответствие между предсказанием и моделированием возникает, если некоторая масса, предсказанная как находящаяся в ореоле, уже была отнесена к ореолу большей массы, поскольку создает точки, которые заполняют нижнюю правую половину графика. Однако в эллипсоидальной модели некоторые расхождения почти наверняка возникают из-за того, что мы используем очень простой рецепт для соотнесения массы с e и p . Предположительно, разброс на панели справа можно уменьшить, явно вычислив δ ec ( e , p ) и используя это для вычисления M эллипсоида , а не используя репрезентативный значение e mp , которое мы приняли при выводе уравнения (4).
На рис. 4 показан результат учета эффектов этого разброса следующим грубым способом. Начальная область, содержащая гало
с массой M , могла иметь значения e и p , отличные от предполагаемых нами. Так как δ ec является функцией e и p , изменение этих значений приводит к другому предсказанному эллипсоиду M . Линии, проходящие через каждую точку на рисунке, иллюстрируют диапазон предсказанных масс, связанных с каждым объектом, если эллипсоидальный барьер коллапса в уравнении (4) имел В любом заданном масштабе, интегрируя по этому диапазону в p [напомним, что p падает в этом диапазоне примерно 50% времени (и в диапазоне 70% времени).Для наглядности из ∼10 4 объектов показаны только 500 случайно выбранных. График показывает корреляцию более четко, чем на предыдущем рисунке. Он также показывает, что, по крайней мере, для некоторых объектов разница между прогнозируемыми и фактическими массами может быть отнесена на счет разброса начальных значений e и p . Мы не занимались этим более подробно.Мы считаем, что вместе взятые три цифры выше дают два балла. Во-первых, поскольку верхняя левая половина графика рассеяния для частиц с центром масс действительно пуста, наша гипотеза набора экскурсий о том, что коллапс происходит около локальных максимумов распределения м пред , должна быть достаточно точной.Во-вторых, поскольку точки центра масс достаточно хорошо следуют этому соотношению, и поскольку разброс вокруг этого среднего отношения меньше для прогнозов эллипсоидальной динамики, чем для предсказаний сферической динамики, наша параметризация эллипсоидальной динамики в подходе с набором экскурсий представляет собой улучшение по сравнению с сферическая модель, от объекта к объекту.
Мы считаем важным отметить, что наша модель, в которой коллапс происходит около локального максимума предсказанного поля массы коллапса, требует, чтобы коллапс должен был произойти по всем трем осям.Если бы мы выбрали коллапс только по первой оси для обозначения вириализации, δ ec ( м ) уменьшилось бы на м . В этом случае включение эллипсоидальной динамики увеличило бы разброс на рис. 2. Более того, все точки на левой панели рис. 3 были бы смещены вправо, а точки с маленьким ореолом M были бы смещены способствовать. Таким образом, если бы была какая-либо корреляция между прогнозируемыми и смоделированными массами на результирующем графике разброса, она не была бы линейной.Следовательно, если коллапс происходит около локального максимума предсказанного поля M M , то рис. 2–4 дает сильное эмпирическое обоснование нашей идентификации вириализации со временем, когда все три оси начального эллипсоида схлопываются.
Поскольку частицы в центре масс действительно показывают ожидаемую корреляцию, если кто-то заинтересован в изучении статистических свойств коллапсирующих объектов, то изучение только этих частиц в центре масс должно быть хорошим приближением.Например, предположим, что кто-то заинтересован в использовании того факта, что исходное распределение было гауссовым случайным полем, чтобы предсказать долю массы, которая содержится в объектах, которые сжались по всем трем осям. Поскольку предсказывается, что только 8 процентов всех положений в начальном гауссовом поле будут коллапсировать по всем трем осям (Дорошкевич, 1970), можно сделать вывод, что только 8 процентов массы могут содержаться в таких объектах. Однако в нашем подходе актуальный вопрос заключается не в том, какая часть всех позиций может схлопнуться вдоль всех трех осей, а в том, какая часть частиц центра масс (или, что то же самое, пиков в начальном распределении м до ). может разрушиться по всем трем осям.Эта доля почти наверняка ближе к единице, чем к 8 процентам. Более того, поскольку каждая такая частица может находиться в центре коллапсирующего гало, масса которого значительно превышает массу отдельной частицы, фактическая доля массы, которая находится в объектах, которые коллапсировали по всем трем осям, может быть значительной. Поскольку эти частицы с центром масс почти наверняка не случайно помещаются в начальное поле, долю общей массы, которая схлопывается вокруг этих положений, оценить труднее, хотя она, безусловно, значительно превышает 8 процентов.По этой же причине вычисление других статистических величин, таких как функция масс коллапсирующих объектов, является более сложным.
4 Статистические прогнозы
В этом разделе представлены два примера результата включения эллипсоидальной динамики в подход набора экскурсий.
4.1 Функция масс
В подходе с экскурсионным набором есть два шага, необходимые для перехода от сравнения объектов, описанных в предыдущем разделе, к утверждению о плотности числа сколлапсированных объектов.Первый — это утверждение о той доле массы, которая, по прогнозам, окажется в объектах определенной массы, а вторая — о том, как эта прогнозируемая массовая доля связана с фактической долей в схлопнувшихся объектах с такой массой. Если масса объекта всегда предсказывается правильно, то второй из этих шагов определяется уравнением (1). Предположим, что это так (диаграммы разброса в предыдущих разделах показывают, что это разумное приближение, при условии, что частицы с центром масс используются для предсказания).Затем проблема сводится к вычислению хорошего приближения к первому шагу.
Первая оценка функции масс коллапсирующих объектов, связанная с нашей параметризацией эллипсоидального коллапса, следует из использования метода, использованного Бондом и др. (1991), а именно использовать распределение первого пересечения посредством некоррелированных случайных блужданий эллипсоидального движущегося барьера при схлопывании в уравнении (1). Поскольку статистика случайно выбранных частиц не такая же, как у частиц с центром масс, и потому что сравнения объектов, представленные в предыдущем разделе, были вычислены с использованием цилиндра в реальном пространстве (так что случайное блуждание траектории, связанные с каждой позицией, имеют коррелированные шаги), тогда как некоррелированное распределение первого пересечения случайного блуждания предполагает фильтр, который является цилиндром в пространстве Фурье, что, безусловно, непоследовательно.Тем не менее, поскольку эта процедура с постоянной формой барьера дает исходный Bond et al. формулы для функции масс, связанной со сферическим коллапсом, мы считаем, что это простой способ проиллюстрировать различия между нашим эллипсоидальным коллапсом, основанным на модели движущегося барьера (уравнение 5), и более традиционной моделью сферического коллапса (уравнение 2).
Чтобы показать это более наглядно, мы можем вычислить численно (следуя Шету 1998) форму барьера B ( σ , z ), который дает массовую функцию GIF уравнения (6), если соотношение между распределением первого пересечения f ( σ ) d σ независимых броуновских блужданий без ограничений и функцией масс гало определяется уравнением (1).Поскольку проблема случайного блуждания также может быть сформулирована в терминах масштабированной переменной ν , и поскольку массовые функции GIF также могут быть выражены в этой переменной, нам нужно вычислить форму барьера только один раз; простое изменение масштаба переменных придает форму барьера все более поздние времена. В хорошем приближении барьер, связанный с моделированием GIF, имеет вид (7) где σ ( m ) и a — те же параметры, которые появляются в функции масс, поэтому δ sc ( z ) задается моделью сферического коллапса и зависит от космологической модели, σ ( м ) зависит от формы начального спектра флуктуаций, и обратите внимание, что эта форма барьера (уравнение 7), которая требуется для В результате функция масс GIF (уравнение 6) имеет ту же функциональную форму, что и форма барьера, связанная с моделью эллипсоидального коллапса (уравнение 4).За исключением коэффициента и , эти два барьера практически идентичны.В некоторой степени значение a определяется тем, как гало были идентифицированы при моделировании, и есть некоторая свобода в том, как это делается. Обычно для определения связанных групп используют алгоритм друзей друзей или алгоритм сферической сверхплотности. Оба алгоритма имеют свободный параметр, который обычно задается с помощью модели сферического коллапса. В случае сферической избыточной плотности она обычно устанавливается в ~ 200 раз больше фоновой плотности.В случае друзей друзей принято устанавливать длину связи в 0,2 раза больше среднего расстояния между частицами. Ясно, что форма функции масс будет зависеть от того, как идентифицируются группы. В случае с друзьями друзей, например, уменьшение длины ссылки приведет к уменьшению количества массивных объектов. Поскольку мы рассматриваем функцию масс, связанную со свернутыми эллипсоидами, больше не очевидно, что свободные параметры в этих искателях групп должны быть установлены с использованием значений сферического коллапса.
Рассмотрим, что произойдет, если мы изменим длину ссылки в случае друзей друзей. Если в среднем профиль плотности объектов, идентифицированных с использованием данной длины звена, является степенным, то уменьшение длины звена означает, что все ореолы станут менее массивными на некоторый мультипликативный коэффициент. Если этот степенной закон приблизительно не зависит от массы гало, то этот фактор также будет приблизительно не зависеть от массы гало. Это означает, что для некоторого диапазона масштабов существует вырождение между длиной связи друзей-друзей и параметром M ∗.Поскольку функция масс в моделировании является функцией этого, это приведет к вырождению между длиной звена и M *, поэтому вырождение между длиной звена и σ * может зависеть от спектра мощности. По этой причине мы будем рассматривать параметр a в уравнении (6) выше как связанный с длиной линии связи. Это значение связано с длиной звена, которая в 0,2 раза превышает среднее расстояние между частицами, значение, предложенное моделью сферического коллапса, когда спектр мощности принадлежит семейству CDM.Предположительно, если бы мы достаточно уменьшили эту длину ссылки, мы бы обнаружили, что поскольку длина ссылки, связанная с, является более или менее стандартной, мы не изменили ее и пересчитали симуляционную функцию масс.
В дополнение к длине ссылки, факт, который вполне может быть связан с тем фактом, что мы использовали очень простую процедуру для перехода от нашего сравнения объектов к функции масс. Напомним, что это было сделано в два этапа; на первом этапе предполагалось, что существует небольшой разброс между массой в резком пространственном фильтре k (который мы использовали, чтобы показать, что теоретические уравнения 5 и 4 были связаны аналогично уравнениям моделирования 6 и 7) и верхним -шляпа в реальном пространстве (которая использовалась для выполнения объектно-объектного сравнения, показывающего, что между предсказанной и фактической массами был небольшой разброс).Кроме того, как обсуждалось в конце предыдущего раздела, тот факт, что ореолы не сжимаются вокруг случайных положений в начальном поле флуктуаций, вероятно, изменит предсказанную функцию масс (использование уравнения 5 является приближением). Мы планируем представить более подробный вывод связи между распределением первого пересечения, связанным с независимыми траекториями случайного отклонения, и функцией масс, связанной с траекториями центра масс, в отдельной статье. На данный момент мы просто отметим, что тот факт, что барьер GIF (уравнение 7) является просто масштабированной версией движущегося барьера уравнения (4), убедительно свидетельствует в пользу точности модели эллипсоидального коллапса.
4.2 Крупномасштабное смещение
Далее мы будем рассматривать отношение смещения гало к массе, определяемое как отношение спектра мощности распределения гало к спектру мощности распределения материи. Мо и Уайт (1996) утверждали, что это отношение должно стать постоянным при малых k , и что значение этой константы должно зависеть от массы гало. На рис. 5 показано это крупномасштабное соотношение смещения как функция массы ореола для ореолов, которые образуются из изначально безмасштабных гауссовских полей случайных флуктуаций плотности: i.е., начальный спектр мощности был. Пунктирная линия показывает соответствие Jing (1998) этому соотношению смещения, измеренному при численном моделировании иерархической кластеризации (также см. Jing 1999, Porciani, Catelan & Lacey 1999 и Sheth & Lemson 1999a). Пунктирная линия показывает соотношение смещения, вычисленное Mo & White с использованием «стандартной» модели сферического коллапса и постоянного барьера. Хотя это достаточно точно, менее массивные ореолы в моделировании, по-видимому, сгруппированы сильнее, чем предсказывает эта модель.Шет и Тормен (1999) утверждали, что отчасти это несоответствие проистекает из того факта, что функция масс в моделировании отличается от функции Пресса-Шехтера. Они объединили симуляционную функцию масс с приближением разделения пикового фона для оценки крупномасштабной систематической ошибки. Если масштабированная функция масс в безмасштабных симуляциях Цзина такая же, как и в симуляциях GIF, то их формула разделения пикового фона работает лучше, чем стандартная модель, хотя она не дает роста при малых массах, который обнаруживает Цзин.Более того, Sheth & Tormen не дали динамического обоснования того, почему функция масс отличается от стандартной.
Рис. 5.
Коэффициент крупномасштабного смещения b ( м ) как функция массы гало. Пунктирные кривые показывают соответствие этой зависимости, измеренной при численном моделировании Jing (1998), хотя его рис. 3 показывает, что фактор смещения для массивных ореолов в его моделировании немного меньше, чем тот, который дается его функцией подбора.Пунктирные кривые показывают предсказание сферического коллапса Mo & White (1996), а сплошные кривые показывают предсказание эллипозидального коллапса, сделанное в этой статье. На конце большой массы наши сплошные кривые и результаты моделирования отличаются от функции аппроксимации Цзин (пунктирная линия) в том же качественном смысле.
Рис. 5.
Коэффициент крупномасштабного смещения b ( м ) как функция массы гало. Пунктирные кривые показывают соответствие этой зависимости, измеренной при численном моделировании Jing (1998), хотя его рис.3 показывает, что фактор смещения для массивных ореолов в его моделировании немного меньше, чем тот, который дается его функцией подбора. Пунктирные кривые показывают предсказание сферического коллапса Mo & White (1996), а сплошные кривые показывают предсказание эллипозидального коллапса, сделанное в этой статье. На конце большой массы наши сплошные кривые и результаты моделирования отличаются от функции аппроксимации Цзин (пунктирная линия) в том же качественном смысле.
Чтобы вычислить крупномасштабное отношение смещения, связанное с нашим эллипсоидальным коллапсом, модель движущегося барьера, мы должны связать отношение смещения с моделью случайного блуждания.Это было сделано Мо и Уайтом (1996), которые утверждали, что отношение предвзятости было связано с пересечением двух барьеров (см. Также Sheth & Tormen 1999). По сути, крупномасштабное отношение смещения связано со случайными блужданиями, которые проходят далеко от начала координат до пересечения барьера. Чтобы это произошло, нужно учитывать случайные блуждания, которые пересекают барьер, когда высота барьера очень велика. Мы смоделировали случайные блуждания и зарегистрировали первые пересечения барьера, указанного в уравнении (7), в пределе высокого барьера.Затем мы использовали соотношение, данное Мо и Уайтом, для вычисления соответствующего прогноза для отношения крупномасштабной систематической ошибки. В очень хорошем приближении это соотношение: где и 8, где a , b и c — те же параметры, которые описывают форму барьера (уравнение 7). Сплошная кривая показывает предсказанное крупномасштабное соотношение эйлерова смещения (при и оно вызывает подъем на низкомассовом конце, аналогичный тому, который наблюдается в моделировании Цзина (на практике массовые функции в начальных безмасштабных симуляциях) немного отличаются от функции массы GIF.Таким образом, строго говоря, отношение смещения должно быть вычислено с использованием значений a , b и c , связанных с фактической функцией масс в безмасштабном моделировании. Поскольку эта разница невелика, мы не пытались продолжить этот раздел.)Мы закончим этот раздел кратким сравнением зависимости смещения эллипсоидального коллапса с таковой в моделировании, которое началось с реалистичных начальных спектров мощности. Sheth & Tormen (1999) показали, что в симуляциях GIF моделей SCDM, ΛCDM и OCDM соотношение смещения для ореолов, которые определены на z , образуют и наблюдаются в z форма (см. Их рис.4). Символы на рис. 6 показывают это измененное соотношение смещения для 1, 2 и 4 (закрашенные треугольники, пустые квадраты, закрашенные кружки и незаполненные кружки, соответственно). Пунктирные кривые показывают стандартное предсказание сферического коллапса, пунктирные кривые показывают соотношение смещения, связанное с разделением пикового фона, а сплошные кривые показывают предсказание эллипсоидального коллапса. Эти симуляции GIF охватывают меньший диапазон в δ sc / σ , чем безмасштабные прогоны Цзин. В этом меньшем диапазоне формула разделения пикового фона и прогноз движущегося барьера хорошо согласуются с моделированием.
Рис. 6.
Коэффициент крупномасштабного смещения b ( м ) как функция массы гало в симуляциях GIF. Пунктирные кривые показывают предсказание сферического коллапса Mo & White (1996), пунктирные кривые показывают формулу расщепления фона пиков Sheth & Tormen (1999), а сплошные кривые показывают предсказание эллипсоидального коллапса в этой статье.
Рис. 6.
Коэффициент крупномасштабного смещения b ( м ) как функция массы гало в симуляциях GIF.Пунктирные кривые показывают предсказание сферического коллапса Mo & White (1996), пунктирные кривые показывают формулу расщепления фона пиков Sheth & Tormen (1999), а сплошные кривые показывают предсказание эллипсоидального коллапса в этой статье.
5 Обсуждение
Функция масс, измеренная при моделировании (уравнение 6), отличается от функции масс (уравнение 2), предсказанной Press & Schechter (1974) и подходом с использованием экскурсионных наборов Бонда и др. (1991) и Лейси и Коул (1993).Если модель не предсказывает функцию масс точно, тогда предсказания других моделей, такие как крупномасштабное отношение смещения гало к массе, также будут неточными (например, Sheth & Lemson 1999a; Sheth & Tormen 1999). Важно, чтобы модель точно описывала обе эти статистические величины, если массовая зависимость численности и пространственные корреляции объектов должны обеспечивать полезные ограничения на космологические параметры (например, Arnouts et al. 1999; Mo, Mao & White 1999; Moscardini et al. .1999). Поскольку подход экскурсионных наборов позволяет относительно легко сделать множество аналитических оценок эволюции иерархической кластеризации, стоит изменить исходную модель, чтобы она воспроизводила симуляционную функцию масс. Есть надежда, что, если он предсказывает это точно, другие предсказанные количества также будут точными.
Все предсказания подхода с набором экскурсий основаны на решении проблем, связанных со временем, которое проходит до того, как частица, претерпевающая броуновское движение, сначала поглощается барьером.Прогнозируемая функция масс зависит от высоты поглощающего барьера как функция времени случайного блуждания. Поэтому очень важно точно смоделировать эту высоту. Бонд и др. (1991) утверждали, что барьер постоянной высоты связан с динамикой сферического коллапса. В разделе 2.2 настоящей статьи показано, что сочетание модели эллипсоидального коллапса для динамики с предположением, что начальное поле флуктуаций было гауссовым, дает форму барьера, которая не является постоянной (уравнение 4).Скорее, он имеет форму, которая очень похожа на ту, которая необходима для получения функции массы, подобной той, что используется в численном моделировании (уравнение 7): она увеличивается с уменьшением массы.
Наше обсуждение подхода экскурсионных множеств в разделе 3 позволило нам продемонстрировать, что включение эллипсоидальной динамики (т. Е. Требование, чтобы менее массивные объекты были более плотными для коллапса к заданному времени) уменьшает разброс между массами гало, предсказанными теория и то, что на самом деле имеет гало при моделировании (рис. 2–4).То есть мы явно показали, что прогнозы эллипсоидального коллапса, движущегося барьера и отклонения хорошо работают для каждого объекта. Затем мы использовали статистику пересечения барьеров независимых случайных блужданий без ограничений, чтобы получить оценку функции масс гало. Эта оценка имеет форму, аналогичную той, которая использовалась при моделировании. Вдобавок, в отличие от постоянного сферического барьера коллапса, движущийся эллипсоидальный барьер коллапса предсказывает крупномасштабное отношение смещения гало к массе (уравнение 8), которое аналогично измеренному при моделировании, даже при малой массе. конец (рис. 5 и 6).
Мы не первые, кто рассматривает влияние несферической динамики на форму функции масс связанных объектов. Принимая во внимание, что Монако (1995, 1997a, b, 1999), Audit et al. (1997) и Ли и Шандарин (1998) изучали модели, в которых исходный тензор деформации используется для вычисления приближений ко времени коллапса, Эйзенштейн и Лоеб (1995) и Бонд и Майерс (1996) объединили информацию, содержащуюся в тензоре деформации. с моделью эллипсоидального коллапса для оценки эпохи коллапса.За исключением Монако, который предположил, что вириализация связана с коллапсом одной оси, все другие авторы согласны с тем, что более актуальным является коллапс всех трех осей. Мы согласны. В результате его определения Монако обнаружило, что «движущийся» барьер должен уменьшаться, а не увеличиваться с уменьшением массы. Одним из следствий этого является то, что если барьер имеет форму, требуемую Монако, то включение эллипсоидальной динамики увеличило бы, а не уменьшило бы разброс на нашем рис.3, по сравнению со «стандартной» сферической моделью коллапса. По-видимому, причина, по которой Монако не заметила этого, заключается в том, что он не предполагает, что коллапс происходит около максимума предсказанного распределения массы. Скорее, его подход соответствует использованию некоторого подходящим образом определенного среднего для группы из м прогнозных значений , связанных с ореолом, чтобы дать фактическую прогнозируемую массу, тогда как наш подход несколько проще — мы всегда используем максимум.
Другой эффект, который мы могли бы рассмотреть более подробно, но не стали, заключается в том, как мы связали результаты нашего сравнения объект за объектом с формой функции масс гало.Например, мы показали, что использование третьей оси для определения коллапса и, таким образом, вычисление формы нашего движущегося барьера, а затем объединение этой формы барьера со статистикой некоррелированных случайных блужданий, связанных с резким k -пространством, обеспечивает хорошее приближение. к функции масс при моделировании. Мы не исследовали последствия использования других фильтров (таких как цилиндр в реальном пространстве) для теоретических прогнозов (потому что для общего фильтра случайные блуждания имеют коррелированные шаги).Бонд и др. (1991) показали, что предсказанная функция масс действительно зависит от выбора фильтра, если барьер имеет сферическую форму коллапса, а Монако (1997b) показал, что это также верно для барьера, связанного с коллапсом по первой оси. Предоставление более точной связи между распределением случайных блужданий первого пересечения (с коррелированными или некоррелированными шагами) и функцией масс является предметом постоянной работы.
Мы считаем, что наш анализ включает некоторые, но не все, различные полезные результаты, полученные авторами, цитированными выше.Например, мы могли бы вычислить функцию масс, следуя «нечеткому» пороговому подходу Audit et al. (1997) и Ли и Шандарин (1998). В этом подходе «стандартная» сферическая модель соответствует модели, в которой все области плотнее определенного значения δ sc коллапс: p (коллапс | δ ) является ступенчатой функцией. Audit et al. и Ли и Шандарин предоставляют различные определения этой вероятности коллапса, которые все мотивированы сочетанием приближений к несферической динамике со статистикой начального поля сдвига.Рисунки 2 и 3 из этих работ показывают, что в таких моделях вероятность коллапса не является резкой ступенчатой функцией.
Для нашего определения коллапса (9) также не является ступенчатой функцией. Эту вероятность довольно просто вычислить, используя результаты, приведенные в разделе 2.2. На рис. 7 сравнивается наш порог (сплошная кривая) со ступенчатой функцией (пунктирная кривая), связанной со сферическим коллапсом, и более гладкой функцией (пунктирная кривая), связанной с использованием Ли и Шандарина (1998) приближения Зельдовича.По сути, пунктирная кривая связана с моделью, в которой (третья ось) исходный тензор деформации используется для определения момента схлопывания третьей оси, тогда как наша сплошная кривая связана с использованием эллипсоидальной динамики для определения коллапса третья ось. (В этом контексте наш коэффициент и можно рассматривать как аналог свободного параметра Ли и Шандарина λ . Установка, необходимая для согласования с функцией масс ореола, сместила бы положение, где наша сплошная кривая поднимается до оставил.Это сделало бы наш нечеткий порог чем-то средним между ступенчатой функцией сферического коллапса, чем широкой функцией, используемой Ли и Шандарином, с аналогичными последствиями для различий между функциями массы.)Рисунок 7.
«Нечеткий» порог коллапса. Пунктирная кривая показывает предсказание сферического коллапса, пунктирная кривая показывает предсказание аппроксимации Зельдовича Ли и Шандарина (1998), а сплошная кривая показывает предсказание эллипсоидального коллапса в этой статье.
Рис. 7.
«Нечеткий» порог коллапса. Пунктирная кривая показывает предсказание сферического коллапса, пунктирная кривая показывает предсказание аппроксимации Зельдовича Ли и Шандарина (1998), а сплошная кривая показывает предсказание эллипсоидального коллапса в этой статье.
В настоящее время, однако, подход с экскурсионным набором позволяет оценивать гораздо больше полезных величин, чем подход с нечетким порогом (хотя это в первую очередь потому, что на изучение экскурсионного подхода было потрачено больше времени, чем на эти другие).Это основная причина, по которой мы решили использовать нашу формулу для δ ec ( e , p ) для вычисления формы движущегося барьера, вместо того, чтобы продолжать использовать нечеткий пороговый подход.
Еще одно место, где мы могли бы провести более подробный расчет, но не сделали этого, — это соотношение массы и эллиптичности. Мы использовали уравнение (A4), чтобы установить детерминированную связь между σ ( м ) и e , хотя между этим соотношением существует значительный разброс.Вышеупомянутые авторы описывают различные методы учета эффектов этого разброса. В принципе, мы могли бы применить любой из их методов к нашему определению коллапса и, таким образом, включить эффекты разброса вокруг отношения, которое мы используем для перевода δ ec ( e , p , z ) 1 к форме движущегося барьера B ( σ , z ) уравнения (4). [Например, уравнения (24) и (28) Audit et al.(1997) предоставляют то, что по сути является их формулой для того, что мы называем B ( σ , z ), и их уравнение (29) является оценкой разброса.] Хотя это может позволить учесть эффекты стохастичность, являющаяся результатом более точного гауссовского поля флуктуаций (и, таким образом, может позволить уменьшить разброс на рис. 3), это повышение строгости происходит за счет усложнения вычислений других прогнозов, связанных с моделью набора отклонений.Вот почему мы не занимались этим дальше.
В этом отношении наш подход скорее практичен, чем строг. Поскольку мы менее осторожны, чем другие, в отношении точной стохастичности и динамики, наш подход (чтобы обеспечить точную подгонку функции к форме барьера), возможно, легче реализовать. В самом деле, мы считаем важным подчеркнуть, что, хотя это обнадеживает, что форма барьера, связанная с функцией масс GIF, может быть понята в контексте немного более сложной трактовки (чем сферическая модель) динамики коллапса, различные другие прогнозы модели экскурсионного множества (условная функция масс, лес деревьев истории слияний, а также нелинейность и стохастичность отношения смещения гало к массе) достаточно полезны, и их достаточно легко сделать, если сформировать барьер. Известно, что их стоит провести, используя функцию аппроксимации уравнения (7), независимо от того, дает ли более тщательный анализ динамики коллапса и стохастичности начального поля флуктуаций точно такую же форму барьера.Результаты, представленные в разделе 4, дают достаточное обоснование для использования формы барьера таким образом. Делать больше таких прогнозов — тема незавершенной работы.
Прежде чем закончить, мы должны упомянуть, что наш подход с движущимся барьером предполагает, что менее массивные объекты в данный момент времени должны формироваться из областей, которые изначально более плотны, чем области, из которых сформировались более массивные объекты. Это в том же качественном смысле, что и соотношение между массой и центральной концентрацией, которое измеряется для профилей плотности сформировавшегося гало (Navarro, Frenk & White 1997).Эти авторы утверждают, что менее массивные ореолы более сосредоточены в центре, потому что в среднем масса менее массивных ореолов была собрана раньше, в то время, когда универсальная фоновая плотность была выше. Наши результаты показывают, что по крайней мере часть этой связи встроена.
Благодарности
Спасибо Тому Теунсу за обсуждение того, как наши формулы эллиптичности и вытянутости связаны с формулами Bardeen et al. формулы для пиков, сети TMR для финансовой поддержки, которая сделала возможным путешествие между Падуей и Мюнхеном, и рефери Пьерлуиджи Монако за быстрое, вдумчивое и полезное чтение нашей рукописи.Эта работа была частично поддержана сетью «Образование и эволюция галактик», созданной Европейской Комиссией по контракту ERB FMRX-CT96-086 ее программы TMR.
Список литературы
,
1970
,Astrofizika
,3
,175
,
1995
,Кандидатская диссертация
, Univ. Гронинген,
1999
, in, eds,Наблюдательная космология: развитие систем галактик
.ASP Conf. Сер.
, т.176
,Astron. Soc. Pac.
,Сан-Франциско
, стр.186
,
1980
,Крупномасштабная структура Вселенной
.Princeton Univ. Press
,Princeton
и другие. ,
1996
, в et al. , eds,Космология и крупномасштабная структура, Proc. 60-я школа Лез Уш
,ASP Conf. Сер.
, т.176
.Elsevier
,Амстердам
, стр.349
Приложение
Приложение А. Гауссовские случайные поля
Рассмотрим гауссово случайное поле, сглаженное по шкале R f . Пусть σ ( R f ) обозначает среднеквадратичное отклонение сглаженного поля. Любая позиция в этом поле имеет связанный с ней потенциал возмущения, вторые производные которого определяют то, что в приближении Зельдовича называется тензором деформации. Обозначим через собственные значения этого тензора.Разные позиции в сглаженном поле будут иметь разные λ i с. Вероятность того, что собственные значения находятся в таком порядке, равна (A1) где и (Дорошкевич 1970). В линейном режиме начальная флуктуация плотности составляет δ , и, поскольку она связана с потенциалом уравнением Пуассона, интегрируя и затем, где пределы интегрирования вытекают из того факта, что собственные значения упорядочены, это просто чтобы убедиться, что распределение δ является гауссовым с дисперсией σ 2 .Кроме того, поскольку в линейной теории почти наверняка шкала сглаживания R f имеет связанную массу. Обычно форму области характеризуют ее эллиптичностью, e , и вытянутостью, p , где (A2) (например, Bardeen et al. 1986). Если мы используем λ s из приведенных выше формул, то полученные нами значения e и p связаны с потенциалом, а не с полем плотности. (Таким образом, наши e и p — это то, что Bond & Myers 1996 обозначило e v и p v , и они не совпадают с тем, что Bardeen et al.1986 позвоните по номеру e и p .) Порядок собственных значений означает, что если и A сферическая область имеет и Использование уравнения (A2) в формуле Дорошкевича позволяет записать распределение e и p , учитывая δ . Обозначим это распределение. Затем (A3), где мы использовали тот факт, что преобразование из d λ 1 d λ 2 d λ 3 в d δ d e d p вводит множитель 2/3 (Bardeen et al.1986). Легко проверить, что интегрирование этого снова и снова дает единицу, при условии, что для всех e это распределение достигает пика при. Когда максимум происходит при (A4) Это обеспечивает монотонную связь между e mp и δ σ . Также, как и для данного R f , более плотные области с большей вероятностью будут сферическими, чем менее плотные области, тогда как при фиксированном δ более крупные области с большей вероятностью будут сферическими, чем меньшие.В общем, наиболее вероятная форма случайно выбранной области в гауссовском случайном поле является трехосной, поэтому, поскольку нас интересуют объекты, которые образуются из гауссовых флуктуаций, мы должны изучать коллапс эллипсоидов, требуя, чтобы начальные области интереса be peaks не меняет этих качественных выводов, хотя есть количественные различия. Уравнения (7.6) и (7.7) Бардина и др. (1986) дают выражения, соответствующие g и e mp для пиков (но обратите внимание, что их выражения предназначены для плотности, а не для потенциального поля).© 2001 РАН
Форма Земли и опорные эллипсоиды | Учебники и раздаточные материалы | Образование
ПриемникиGPS используют сглаженную модель уровня моря для расчета высоты. Модель называется эталонным эллипсоидом . Это означает, что высота чтения от приемника GPS не является расстояние по вертикали от истинного уровня моря, а расстояние от опорного эллипсоида.В этом уроке мы представляем концепцию эллипсоидов и опорных эллипсоидов способом, подходящим как для учителей, так и для учеников. Воспользуйтесь этим и последующими руководствами, чтобы узнать больше о точности, научных моделях и принципах работы GPS-приемников.
Земля не является идеальной сферой, она больше похожа на слегка сжатую сферу, называемую эллипсоидом . Эллипсоид выглядит как баскетбольный мяч, когда на нем кто-то сидит.Вместо того, чтобы быть идеально круглым, он сплющен сверху вниз и выпячен из стороны в сторону. Из-за гор и долин на поверхности Земли Земля тоже не является совершенным эллипсоидом , но эллипсоид является достаточно хорошим приближением общей формы Земли.
| НЕ ОТЖИМА | ИЗДАНО |
Приемник GPS определяет широту, долготу и высоту.Давайте сосредоточимся конкретно на том, как GPS-приемник вычисляет высоту. Требуемая информация:
- Местоположение как минимум четырех спутников в космосе
- Текущее время
- опорная эллипсоидальная форма уровня моря для всей Земли
Существует много разных опорных эллипсоидов , но все приемники GPS используют один и тот же, и он называется WGS-84 опорным эллипсоидом .Ниже приведено изображение этого эллипсоида с некоторыми длинами в метрах для:
- Расстояние от Северного полюса до центра
- Расстояние от любой точки экватора до центра
Обратите внимание, что большая полуось (a) ДЛИНЕ, чем малая полуось (b) . Физически это означает, что расстояние от стороны к стороне на Земле БОЛЬШЕ, чем сверху вниз, как и сжатая баскетбол. Длины, показанные на изображении, определяют точную форму этого эллипсоида и используются GPS-приемником, чтобы помочь ему вычислить высоту.
Итак, если GPS-приемник сообщает о высоте 1600 метров, это означает, что вы находитесь на 1600 метров над опорным эллипсоидом.
Опорный эллипсоид — это упрощенная модель окружающего нас мира. Это сглаженное математическое представление поверхности Земли на уровне моря, в котором не учитывается влияние приливов, сезонных течений и волн. На суше опорный эллипсоид образует математическую поверхность, которая будет принята уровнем моря, если бы участки суши были пересечены каналами.Почему же тогда модель может быть полезна в науке? В представленном здесь случае модель (опорный эллипсоид ) полезна при измерении высоты, поскольку описание истинной формы уровня моря является сложным и потребует хранения большого количества информации в приемнике GPS.
Точность и использование средних значений для повышения точности
Теперь вы можете быть удивлены, «Если приемник GPS использует модели , что только приближает уровень моря, чтобы определить высоту, какой эффект делает форму эллипсоид имеет на измерении высот?» Обычно этот эффект выражается в точности.
Поскольку GPS-приемник использует опорный эллипсоид , а не истинный уровень моря для вычисления высоты, измерение высоты иногда бывает менее точным. Мы говорим «иногда», потому что бывают моменты, когда опорный эллипсоид совпадает с истинным уровнем моря.
Как можно повысить точность? Допустим, вы сделали измерения GPS для места исследования и сняли 15 показаний, по 1 в минуту в течение 15 минут. Когда вы выполняли это упражнение, показания GPS, вероятно, казались блуждающими, поэтому вы использовали среднее значение всех 15 измерений для определения местоположения.Это усреднение повысило точность ваших GPS-координат со 100 до 30 метров.
Теперь мы знаем, что GPS-приемник использует модель для определения вашей высоты. Чтобы узнать больше о том, что использование этой модели означает для ваших измерений высоты, перейдите на страницу «Геоид и GPS-приемники».
Последнее изменение: 2019-12-24 01:25:30 Америка / Денвер
(PDF) Трассировка лучей в эллипсоидных отражателях для оптической биометрии среды
Таким образом, количественная оценка распределения освещенности
различных областей фотометрических изображений, полученных с помощью эллипсоидальной фотометрии
, вполне сопоставима с оптическими свойствами
БМ разной толщины, как в проходящем, так и в отраженном свете.Эту закономерность можно наблюдать по размеру пятна рассеяния
, заключенного в центральный круг. Это позволяет
различить диапазон толщины ОМ с
«самым ярким» распределением на фотометрических изображениях, как в отраженном, так и в транс-
свете, который для мышечной ткани курицы
составляет 0,01–1 см. Исследование образцов БМ такой толщины в условиях подготовки слайдов
достаточно просто и не требует специальных инструментов
для их получения.В то же время для образцов
других биологических тканей с собственными наборами оптических свойств —
связей, практический интерес к изучению которых высок при оптической биопсии
, можно получить свои наборы характеристических зависимостей. —
уровней освещенности среднего и внешнего колец с помощью моделирования Монте
Карло. Этим можно определить диапазон оптимальных толщин фотометрии
в рамках методов зеркальных эллипсоидов вращения
.
Разработанная информационно-измерительная система эллипсоидальной фотометрии
позволяет учесть свойства источника света
и является предпосылкой для дальнейшего аберрационного анализа
ЭР заданной конфигурации для оптических биомеханических задач. .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Безуглый М.А., Безуглая Н.В. Эллипсоидальные отражатели в биомедицинской диагностике
// Тр. SPIE 9032, V (2013).
2.Безуглый М.А., Ярыч А.В., Ботвиновский Д.В. О возможности применения зеркального эллипсоида вращения
для определения оптических свойств биологических тканей // Оптика атмосферы и океана. Spectrosc. 113, 101–107 (2012).
3. Безуглый М.А., Павловец Н.В. Оптическая биометрия биологических тканей
эллипсоидными отражателями // Тр. SPIE 8798, 87980Q (2013).
4. Ю. Чжао, К. Аргиропулос и Ю. Хао, «Двухволновое конечно-разностное моделирование
во временной области электромагнитных маскирующих структур»,
Опт.Express 16, 6717–6730 (2008).
5. Г. Карагунис, Д. Де Зуттер и Д. Ванде Гинсте, «Двухволновое моделирование оптических волноводов посредством усечения методом моментов
с использованием поглощающих граничных условий PML», Опт. Экспресс 24, 28326–
28336 (2016).
6. Y. Lv, J. Tian, W. Cong, G. Wang, W. Yang, C. Qin и M. Xu,
«Биолюминесцентная томография со спектральным разрешением с адаптивным анализом конечных
элементов: методология и моделирование.Med. Биол. 52,
4497–4512 (2007).
7. Р. Дж. Лапир, П. Д. Гассона и В. Карри, «Моделирование пластической хирургии:
от тестов на растяжение кожи человека, через гиперупругие модели конечных элементов
и тактильные ощущения в реальном времени», Prog. Биофиз. Molec. Биол. 103, 208–
216 (2010).
8. П. К. Й. Чанг, Дж. Г. Валькера и К. И. Хопкрафт, «Трассировка лучей в сорбирующих средах ab-
», J. Quant. Spectrosc. Radiat. Перенос 96, 327–341
(2005).
9. П. Р. Т. Манро, «Трехмерная полноволновая модель формирования изображения в оптической когерентной томографии», Опт. Express 24, 27016–27031
(2016).
10. JC Hebden, A. Gibson, RM Yusof, N. Everdell, EM Hillman, DT
Delpy, SR Arridge, T. Austin, JH Meek и JS Wyatt, «Трехмерная оптическая томография
Мозг недоношенного ребенка // Физ. мезомех.
Мед. Биол. 47, 4155–4166 (2002).
11. А.Ишимару, Распространение волн и рассеяние в случайных средах
(Academic, 1978), Vol. 1.
12. Пушкарева Е. Методы математического моделирования в тканевой оптике
(СПб, ИТМО, 2008).
13. С. А. Прахл, М. Кейзер, С. Л. Жак и А. Дж. Велч, «Модель распространения света в ткани Монте-Карло
», Proc. SPIE 5, 102–111 (1989).
14. Безуглый М.А., Безуглая Н.В., Самиляк А.Б. Обработка изображений при эллипсоидальной фотометрии // Приборы и методы.7,67–76
(2016).
15. Т. Никодим, «Алгоритм трассировки лучей для интерактивных приложений»,
к.т.н. защитил диссертацию (Чешский технический университет, 2010 г.).
16. М. Э. Ньюэлл, Р. Г. Ньюэлл и Т. Л. Санча, «Новый подход к проблеме закрашенных изображений
», в Proceeding of the ACM National
Conference (1972), pp. 443–450.
17. Ф. К. Кроу, «Теневые алгоритмы для компьютерной графики», SIGGRAPH
Comput. График. 11, 242–248 (1977).
18. А. Х. Ватт и М. Ватт, Продвинутая анимация и рендеринг
Методы: теория и практика (ACM, 1992).
19. В. А. Аллен и Дж. Р. Снайдер, «Трассировка лучей через нецентрированные и
асферические поверхности», J. Опт. Soc. Являюсь. 42, 243–249 (1952).
20. А. Мизутани, Ю. Кобаяси, А. Маруяма и Х. Кикута, «Трассировка лучей
асферической линзы с антиотражающей субволновой структурой на
гранях», Дж. Опт. Soc. Являюсь. 26, 337–341 (2009).
21. Иванов Ю.С., Монсар О.А., Синявский И.И. Изготовление глубинной асферической
путем копирования траектории и ее применение // Бюл. НТУУ «КПИ»
28,24–28 (2004 г.) [на украинском языке].
22. Пан Р., З.-З. Ван, Т. Цзян, З.-С. Ванга, Ю.-Б. Го, «Новый метод
для асферической полировки, основанный на анализе траекторий абразива
в области контакта», Proc. Inst. Мех. Англ. B J. Eng. Manuf. 229,
275–285 (2015).
23. Р.Б. Джонсон и М. Мандина, «Моделирование линз из асферического стекла и обработка
», Proc. SPIE 5874, 58740B (2005).
24. Н.В. Безуглая, М.А. Безуглый, Г.С. Тымчик, К.П. Вонсевич,
«Влияние аксиальной анизотропии рассеяния биологической средой
на точность определения оптических коэффициентов
методом Монте-Карло». Res. Бык. НТУУ «КПИ» 99,85–91 (2015)
[на укр.
25. Безуглая Н.В., М.Безуглый А., Тымчик Г.С. Особенности анизотропии
светорассеяния на волокнистых биологических тканях // Бюл.
НТУУ «КПИ» 50, 169–175 (2015) [на укр.
26. W. F. Cheong, S. A. Prahl и A. J. Welch, «Обзор оптических
свойств биологических тканей», IEEE J. Quantum Electron. 26,
2166–2185 (1990).
27. Д. Р. Вайман, В. М. Уилан и Б. К. Уилсон, «Интерстициальный лазер
Фотокоагуляция: оптоволоконный источник Nd: YAG 1064 нм по сравнению с точечным источником тепла
», Lasers Surg.Med. 12. С. 659–664 (1992).
28. Тучин В.В. Исследование ткани светорассеянием // Физ. Мезомех. Усп. 167,
517–539 (1997).
29. Башкатов А.Н., Генина Е.А., Тучин В.В. Оптические свойства кожи и подкожных тканей
: обзор // Журн. Иннов. Опт. Health Sci.
04,9–38 (2011).
30. А. Н. Башкатов, Е. А. Генина, В. В. Тучин, «Глава 5: Оптические свойства ткани
», Справочник по биомедицинской оптике, Д.A. Boas, C.
Pitris, and N. Ramanujam, eds. (Taylor & Francis, LLC, CRC Press,
2011).
8526 Том. 56, No. 30/20 октября 2017 / Applied Optics Research Article
Интерактивная галерея квадратичных поверхностей
Интерактивная галерея квадратичных поверхностейКвадрические поверхности являются важными объектами в Классы многомерного исчисления и векторного анализа. Они нам нравятся потому что они являются естественными 3D-расширениями так называемых коники (эллипсы, параболы и гиперболы), и они обеспечивают довольно хорошие поверхности для использования в качестве примеров для остальной части вашего класса.2} = 1 \)
Вместо того, чтобы запоминать уравнения, вы должны научиться изучить поперечные сечения, чтобы выяснить, на какой поверхности данное уравнение представляет, как я опишу ниже.
Использование этой галереи
В этой галерее вы найдете интерактивные фотографии квадратичные поверхности. Вы можете увидеть, как выглядят поперечные сечения нравится, а также посмотрите, как различные коэффициенты могут влиять на то, как они выглядят. На первом рисунке ниже показан сфера с регулируемым радиусом; щелкните и перетащите синий ползунок, чтобы изменить его.Вы можете повернуть сферу, схватив и перетаскивание. Вы также можете увеличивать или уменьшать масштаб с помощью прокрутки колесико мыши или эквивалентное сенсорное движение.
Линии сетки:
Поверхность: Невидимый Прозрачный Твердый
Сбросить вид
Есть дополнительные элементы управления внизу изображения, которые определить, как отображается поверхность: вы можете изменить материал, из которого сделана сфера, а также показать или скрыть линии сетки.Если заблудишься при переезде вокруг, кнопка «Сбросить вид» перенесет вас обратно туда, где вы начали.
На следующем рисунке показаны различные кресты. сечения сферы, то есть пересечение сфера с плоскостью, параллельной одной из координат самолеты. На картинке изначально изображено пересечение сфера радиуса 2 с тремя плоскостями \ (x = 1 \), \ (y = 1,4 \) и \ (z = -1,2 \). Щелкните и перетащите синие ползунки, чтобы указать, какая плоскость используется, чтобы «разрезать» сферу, чтобы произвести поперечное сечение; пока вы держите ползунок, появляется рассматриваемый самолет.2 \ leq 2 $$ Справа домен — это квадрат , $$ \ begin {align} -1 \ leq x \ leq 1 \\ -1 \ leq y \ leq 1 \ end {align} $$
В этой галерее я нарисовал много поверхностей с квадратными областями чтобы подчеркнуть вертикальные сечения. Я также добавил кнопки ниже некоторые изображения, которые позволяют вам изменить домен на диск.